隐式微分 - 使用 Matlab 的二阶导数

Question

等式是4*x^2-2*y^2==9。使用隐式微分，我可以发现y 对x 的二阶导数是-9/y^3，这需要在最后一步进行替换。

我正在尝试使用 Matlab 的符号工具箱来复制这个答案。我确实找到了对一阶导数 here 的一些支持，并且成功地找到了一阶导数。

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syms x y f
f=4*x^2-2*y^2-9
sol1=-diff(f,x)/diff(f,y)

但我无法继续找到具有最终简化的二阶导数（将 4*x^2-2*y^2 替换为 9）。

谁能告诉我如何在 Matlab 中做到这一点？

Answer 1

据我所知，没有直接的方法可以在 Matlab 中获得隐式二阶导数。在 Matlab 中使用隐式函数可能相当棘手。首先，您的变量 y 隐含地是 x 的函数，您应该这样定义它：

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syms y(x) % defines both x and y
f = 4*x^2-2*y^2-9

这里的y(x) 现在是所谓的arbitrary or abstract symbolic function，即没有明确的公式。然后取f 对x 的导数：

s1 = diff(f,x)

这会根据y(x) 相对于x、diff(y(x), x) 的隐式导数返回一个函数（在这种情况下，diff(y) 是简写）。你可以用subs和solve代数求解diff(y)的这个函数：

syms dydx % arbitrary variable
s2 = subs(s1,diff(y),dydx)
s3 = solve(s2,dydx)

这产生了第一个隐式导数。然后，您可以对该表达式进行另一个导数，以获得作为第一个函数的第二个隐式导数：

s4 = diff(s3,x)

最后将一阶隐式导数的表达式代入 this 并化简得到最终形式：

s5 = simplify(subs(s4,diff(y),s3))

这会产生(2*(y(x)^2 - 2*x^2))/y(x)^3。然后您可以使用f 的原始表达式消除x，并进一步替换和求解：

syms x2
f2 = subs(f,x^2,x2)
x2 = solve(f2,x2)
s6 = subs(s5,x^2,x2)

最后，如果需要，您可以将其转回带有最终替换的显式代数表达式：

s7 = subs(s6,y,'y')

这会产生-9/y^3 的解决方案。

整个过程可以更简洁（但非常不清楚）写成：

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syms y(x) dydx x2
f = 4*x^2-2*y^2-9;
s1 = solve(subs(diff(f,x),diff(y),dydx),dydx)
s2 = simplify(subs(subs(subs(diff(s1,x),diff(y),s1),x^2,solve(subs(f,x^2,x2),x2)),y,'y'))

还有许多其他方法可以达到相同的效果。另请参阅这两个教程：[1]、[2]。

Answer 2

我问这个问题已经快四年了，得到了 horchler 的出色帮助，但我发现了另一种使用链式法则的方法。

syms x y
f=4*x^2-2*y^2-9
dydx=-diff(f,x)/diff(f,y)
d2ydx2=diff(dydx,x)+diff(dydx,y)*dydx

d2ydx2=simplifyFraction(d2ydx2,'Expand',true)

s1=solve(f,x)
subs(d2ydx2,x,s1(2))