时间序列移动平均模型

Question

经过大量时间序列探索，我有一个很琐碎的疑问。

在移动平均模型中，误差项来自哪里。从每个值中减去什么以获得这些错误，它是系列中的第一个值还是任何预期值？

例如，让我们采用 MA(1) 模型 - xt=μ+wt+θ1wt−1；对于x1，w1 和 w0 是什么。

Answer 1

MA 模型假设您有一个围绕平均值 μ 反弹的平稳过程

来自此链接 (https://onlinecourses.science.psu.edu/stat510/node/48/)：

"wt 同分布，独立分布，均服从正态分布，均值为 0，方差相同。"

所以这样想。您对 Xt 的预测是三个分量的总和。首先，你有平均值（μ）。从长远来看，该模型总是试图恢复到这个平均值。第二个分量 (wt) 是白噪声误差项。由于您要建模的任何过程（股票价格、南极洲的温度等）都不仅仅是一条水平直线，因此您需要该术语来表示数据中的随机性。第三项 (θ1 * wt−1) 是您的均值回归参数乘以您在前一期间偏离均值的量。

例如，假设您的平均值是 10，而您的时间序列是 10、10、10、20、15、10 等...对于 T=1、2、3... 我们假设 θ1= 0.5。当时间序列在 T=4 处跳到 20 时，您的公式采用以下形式

Xt = μ + wt + θ1 * wt−1

(20 = 10 + 10 + 0.5 * 0)

其中wt为10的冲击，第三项为0，因为前期没有冲击。

当 T=5 时，您的方程现在采用以下形式

Xt = μ + wt + θ1 * wt−1

(15 = 10 + 0 + 0.5 * 10)

其中 wt-1 现在是与前一个时间段的 10 个偏差，并且在此期间没有进一步的随机冲击。

在 T=6 中，冲击已自行消除，系列已恢复到平均水平。