如何绘制正态分布曲线以及中心极限定理

Question

我试图沿着我的中心极限数据分布获得正态分布曲线。

下面是我尝试过的实现。

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats
import math

# 1000 simulations of die roll
n = 10000

avg = []
for i in range(1,n):#roll dice 10 times for n times
    a = np.random.randint(1,7,10)#roll dice 10 times from 1 to 6 & capturing each event
    avg.append(np.average(a))#find average of those 10 times each time

plt.hist(avg[0:])

zscore = stats.zscore(avg[0:])

mu, sigma = np.mean(avg), np.std(avg)
s = np.random.normal(mu, sigma, 10000)

# Create the bins and histogram
count, bins, ignored = plt.hist(s, 20, normed=True)

# Plot the distribution curve
plt.plot(bins, 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) *np.exp( - (bins - mu)**2 / (2 * sigma**2)))

我得到下图，

你可以在底部看到红色的正态曲线。

谁能告诉我为什么曲线不合适？

Answer 1

你几乎拥有它！首先，看到您在相同的轴上绘制了两个直方图：

plt.hist(avg[0:])

和

plt.hist(s, 20, normed=True)

因此，您可以在直方图上绘制正态密度，您正确地使用 normed=True 参数对第二个图进行了归一化。但是，您也忘记对第一个直方图进行归一化 (plt.hist(avg[0:]), normed=True)。

我还建议，既然您已经导入了 scipy.stats，那么您不妨使用该模块中的正态分布，而不是自己编写 pdf。

把这一切放在一起，我们有：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats

# 1000 simulations of die roll
n = 10000

avg = []
for i in range(1,n):
    a = np.random.randint(1,7,10)
    avg.append(np.average(a))

# CHANGED: normalise this histogram too
plt.hist(avg[0:], 20, normed=True)

zscore = stats.zscore(avg[0:])

mu, sigma = np.mean(avg), np.std(avg)
s = np.random.normal(mu, sigma, 10000)

# Create the bins and histogram
count, bins, ignored = plt.hist(s, 20, normed=True)

# Use scipy.stats implementation of the normal pdf
# Plot the distribution curve
x = np.linspace(1.5, 5.5, num=100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, mu, sigma))

这给了我以下情节：

编辑

在您询问的 cmets 中：

1. np.linspace中的1.5和5.5怎么选
2. 是否可以在非标准化直方图上绘制正常内核？

到地址 q1。首先，我用眼睛选择了 1.5 和 5.5。绘制直方图后，我看到直方图箱的范围在 1.5 到 5.5 之间，所以这是我们想要绘制正态分布的范围。

选择此范围的更程序化方式是：

x = np.linspace(bins.min(), bins.max(), num=100)

至于问题 2，是的，我们可以实现您想要的。但是，您应该知道我们将不再绘制概率密度函数。

在绘制直方图时删除normed=True 参数后：

x = np.linspace(bins.min(), bins.max(), num=100)

# Find pdf of normal kernel at mu
max_density = stats.norm.pdf(mu, mu, sigma)
# Calculate how to scale pdf
scale = count.max() / max_density

plt.plot(x, scale * stats.norm.pdf(x, mu, sigma))

这给了我以下情节：

Answer 2

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats
import math

# 1000 simulations of die roll
n = 10000

avg = []
for i in range(1,n):#roll dice 10 times for n times
    a = np.random.randint(1,7,10)#roll dice 10 times from 1 to 6 & capturing each event
    avg.append(np.average(a))#find average of those 10 times each time

plt.hist(avg[0:],20,normed=True)

zscore = stats.zscore(avg[0:])

mu, sigma = np.mean(avg), np.std(avg)
s = np.random.normal(mu, sigma, 10000)

# Create the bins and histogram
count, bins, ignored = plt.hist(s, 20, normed=True)

# Plot the distribution curve
plt.plot(bins, 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) *np.exp( - (bins - mu)**2 / (2 * sigma**2)))

我刚刚缩小了平均列表直方图。

剧情：-

Answer 3

逻辑似乎是正确的。

问题在于显示数据。

尝试使用 normed=true 对第一个直方图进行归一化，并为两个直方图设置相同的 bin。像20个垃圾箱。

Answer 4

掷骰子是均匀分布的情况。从 1 到 6 的任何数字出现的概率是 1/6。所以平均值和标准差由下式给出

现在，CLT 表示，对于足够大的 n 值，即代码中的 10，n 次抛出的平均值的 pdf 将接近均值 3.5 和标准偏差 1.7078/sqrt(10) 的正态分布

n_bins=50
pdf_from_hist, bin_edges=np.histogram(np.array(avg), bins=n_bins, density=True)
bin_mid_pts= np.add(bin_edges[:-1], bin_edges[1:])*0.5
assert(len(list(pdf_from_hist))  == len(list(bin_mid_pts)))
expected_std=1.7078/math.sqrt(10)
expected_mean=3.5
pk_s=[]
qk_s=[]
for i in range(n_bins):
    p=stat.norm.pdf(bin_mid_pts[i], expected_mean, expected_std) 
    q=pdf_from_hist[i]
    if q <= 1.0e-5:
        continue
    pk_s.append(p)
    qk_s.append(q)
#compute the kl divergence
kl_div=stat.entropy(pk_s, qk_s)
print('the pdf of the mean of the 10 throws differ from the corresponding normal dist with a kl divergence of %r' % kl_div)