椭圆的协方差矩阵答案

【问题标题】：Covariance Matrix of an Ellipse椭圆的协方差矩阵
【发布时间】：2025-12-31 15:35:11
【问题描述】：

我一直在尝试解决一个问题。我很惊讶我无法在网上找到任何真正有用的东西。

我知道从椭圆的协方差矩阵的特征值，可以计算出椭圆的长轴和短轴。如下：

a1 = 2*sqrt(e1)
a2 = 2*sqrt(e2)

其中a1和a2是长轴和短轴，e1和e2是协方差矩阵的特征值。

我的问题是：给定图像椭圆的边缘点(xi,yi)，如何找到该椭圆的 2×2 协方差矩阵？

【问题讨论】：

矩阵不应该只是所有xi-syi-s的协方差吗？
我不确定！我为半径为 100 的圆生成一个边缘点。然后我定义了一个p = [xi,yi]，其中 P 是一个边缘点矩阵n x 2。我使用了matlab命令cov(P)。我从协方差矩阵重新计算了圆的半径。但是给出了与原始半径不同的值。（它给出了 141,140）！！
...这个数字除以 100 应该会响起 :)

标签： matlab image-processing matrix covariance ellipse

【解决方案1】：

仅通过纯逆向工程（我不再熟悉这种材料），我可以做到这一点：

%// Generate circle
R = 189;
t = linspace(0, 2*pi, 1000).';
x = R*cos(t);
y = R*sin(t);

%// Find the radius?
[~,L] = eig( cov([x,y]) );

%// ...hmm, seems off by a factor of sqrt(2)
2*sqrt( diag(L) )        

%// so it would come out right when I'd include a factor of 1/2 in the sqrt():
2*sqrt( diag(L)/2 )

那么，让我们来测试一下一般椭圆的理论：

%// Random radii
a1 = 1000*rand;
a2 = 1000*rand;

%// Random rotation matrix
R = @(a)[
    +cos(a) +sin(a); 
    -sin(a) +cos(a)];

%// Generate pionts on the ellipse 
t = linspace(0, 2*pi, 1000).';
xy = [a1*cos(t)  a2*sin(t);] * R(rand);

%// Find the deviation from the known radii
%// (taking care of that the ordering may be different)
[~,L] = eig(cov(xy));
min(abs(1-bsxfun(@rdivide, 2*sqrt( diag(L)/2 ), [a1 a2; a2 a1])),[],2)

它总是返回一些可以接受的小东西。

所以，似乎可行:) 任何人都可以验证这确实是正确的吗？

【讨论】：

因子sqrt(2) 是因为协方差矩阵是根据椭圆周长上的点计算的，而不是实心椭圆。 OP 方程对实心椭圆的协方差矩阵有效。

【解决方案2】：

为了扩展 Rody 的答案，实心椭圆的协方差矩阵具有由 lambda_i = r_i^2/4 给出的特征值。这导致了 OP 的 r_i = 2*sqrt(lambda_i) 方程。

对于（非实心）椭圆，如 OP 的情况，特征值是实心情况的两倍：lambda_i = r_i^2/2，导致 r_i = sqrt(2*lambda_i)（等于 Rody 的 2*sqrt(lambda_i/2)）。

我无法直接找到此参考，但协方差矩阵的数学与惯性矩的数学相同。 On Wikipedia你可以看到“圆环”和“实心盘”的情况，它们相差相同的2倍。

这是对 Rody 的测试的改编，同时进行了实体和非实体情况：

% Radius to test with
r = rand(1,2);

% Random rotation matrix
R = @(a)[+cos(a) +sin(a); 
         -sin(a) +cos(a)];

% Generate pionts on the ellipse
N = 1000;
t = linspace(0, 2*pi, N).';
xy = r.*[cos(t),sin(t)] * R(rand);
% Compute radii, compare to known radii
L = eig(cov(xy));
r_ = sqrt(2*L)';
err = max(abs(1 - sort(r_) ./ sort(r)))

% Generate points in the ellipse (SOLID CASE)
N = 10000;
t = 2*pi * rand(N,1);
xy = r .* sqrt(rand(N,1)) .* [cos(t),sin(t)] * R(rand);
% Compute radii, compare to known radii
L = eig(cov(xy));
r_ = 2*sqrt(L)';
err_solid = max(abs(1 - sort(r_) ./ sort(r)))

如果您运行此代码，您将看到 1e-3 和 ~6e-3 的错误（对于实体情况，我生成更多点，因为该区域需要更多点才能足够密集地采样；点越多，误差越小)。

【讨论】：