是否有任何算法可以从一组 3D 数据点返回直线方程？我可以找到很多来源，它们可以从 2D 数据集中给出一条线的方程，但在 3D 中没有。
谢谢。
【问题讨论】：
标签： python numpy linear-algebra curve-fitting
如果您尝试从其他两个值中预测一个值，那么您应该使用 lstsq 和 a 参数作为您的自变量（加上一列 1 来估计截距）和 b 作为您的因变量。
另一方面，如果您只想获得最适合数据的线，即如果您将数据投影到其上，则该线将最小化实点与其投影之间的平方距离，那么你想要的是第一个主成分。
定义它的一种方法是直线，其方向向量是对应于最大特征值的协方差矩阵的特征向量，它穿过数据的平均值。也就是说，eig(cov(data)) 是一种非常糟糕的计算方法，因为它进行了大量不必要的计算和复制，并且可能不如使用 svd 准确。见下文：
import numpy as np
# Generate some data that lies along a line
x = np.mgrid[-2:5:120j]
y = np.mgrid[1:9:120j]
z = np.mgrid[-5:3:120j]
data = np.concatenate((x[:, np.newaxis],
y[:, np.newaxis],
z[:, np.newaxis]),
axis=1)
# Perturb with some Gaussian noise
data += np.random.normal(size=data.shape) * 0.4
# Calculate the mean of the points, i.e. the 'center' of the cloud
datamean = data.mean(axis=0)
# Do an SVD on the mean-centered data.
uu, dd, vv = np.linalg.svd(data - datamean)
# Now vv[0] contains the first principal component, i.e. the direction
# vector of the 'best fit' line in the least squares sense.
# Now generate some points along this best fit line, for plotting.
# I use -7, 7 since the spread of the data is roughly 14
# and we want it to have mean 0 (like the points we did
# the svd on). Also, it's a straight line, so we only need 2 points.
linepts = vv[0] * np.mgrid[-7:7:2j][:, np.newaxis]
# shift by the mean to get the line in the right place
linepts += datamean
# Verify that everything looks right.
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d as m3d
ax = m3d.Axes3D(plt.figure())
ax.scatter3D(*data.T)
ax.plot3D(*linepts.T)
plt.show()
这是它的样子：
【讨论】：
vv的第一行？我在互联网上发现了相互矛盾的陈述，通常说它应该是对应于最小奇异值的正确奇异值。那将是vv 的最后行，不是吗？
如果您的数据表现得相当好，那么找到组件距离的最小二乘和应该就足够了。然后你可以找到 z 独立于 x 并再次独立于 y 的线性回归。
以documentation 为例：
import numpy as np
pts = np.add.accumulate(np.random.random((10,3)))
x,y,z = pts.T
# this will find the slope and x-intercept of a plane
# parallel to the y-axis that best fits the data
A_xz = np.vstack((x, np.ones(len(x)))).T
m_xz, c_xz = np.linalg.lstsq(A_xz, z)[0]
# again for a plane parallel to the x-axis
A_yz = np.vstack((y, np.ones(len(y)))).T
m_yz, c_yz = np.linalg.lstsq(A_yz, z)[0]
# the intersection of those two planes and
# the function for the line would be:
# z = m_yz * y + c_yz
# z = m_xz * x + c_xz
# or:
def lin(z):
x = (z - c_xz)/m_xz
y = (z - c_yz)/m_yz
return x,y
#verifying:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
zz = np.linspace(0,5)
xx,yy = lin(zz)
ax.scatter(x, y, z)
ax.plot(xx,yy,zz)
plt.savefig('test.png')
plt.show()
如果您想最小化从线（与线正交）到 3 空间中的点的实际正交距离（我不确定这甚至称为线性回归）。然后我会构建一个计算 RSS 的函数并使用 scipy.optimize 最小化函数来解决它。
【讨论】：