使用 Python 进行傅里叶变换

Question

我正在尝试使用 Python 进行傅里叶变换。

有一个不错的库numpy 具有fft 函数，该函数假定根据文档获取一系列点并返回它们的傅里叶变换。

现在我尝试让它工作 - 但它看起来不对......

我创建了简单的sine wave 1Hz，Amplitude=1。 我用8Hz 对其进行采样（所以 8 个样本）

这些是样本：

[0,0.707,1,0.707,0,-0.707,-1,-0.707]

现在我希望得到 ens 的回报。 [0,4,0,0,0,0,0,4] 或[0,8,0,0] 表示频率为1Hz（取决于它是否根据奈奎斯特限制进行所需的修整）。

但实际上我得到以下信息：

[0.00000000e+00+0.00000000e+00j, -2.22044605e-16-3.99969798e+00j,
 0.00000000e+00+0.00000000e+00j, -2.22044605e-16+3.02022804e-04j,
 0.00000000e+00+0.00000000e+00j,  2.22044605e-16-3.02022804e-04j,
 0.00000000e+00+0.00000000e+00j,  2.22044605e-16+3.99969798e+00j]

这是我的代码：

import numpy
signal = numpy.array([0,0.707,1,0.707,0,-0.707,-1,-0.707], dtype=float)
f =  numpy.fft.fft(signal)
print (f)

为什么我会得到这个结果？我做错了什么？

Answer 1

傅里叶变换的输出

nummpy.fft.fft（以及所有其他傅立叶变换方法）的输出具有复数值。该输出对输入中每个频率分量的幅度和相移信息进行编码。您在输出中得到的复数是正确的。

如何从fft.fft的输出中得到频谱

从您的示例中，您似乎试图获得的输出实际上是频谱（技术上，energy spectral density）。你可以通过取numpy.fft.fft返回的结果的绝对值来计算：

import numpy
signal = numpy.array([0,0.707,1,0.707,0,-0.707,-1,-0.707], dtype=float)
f =  numpy.fft.fft(signal)
print(np.abs(f))

输出：

[0.00000000e+00 3.99969798e+00 0.00000000e+00 3.02022804e-04
 0.00000000e+00 3.02022804e-04 0.00000000e+00 3.99969798e+00]

这正是您所期望的，只是在一些数值上不准确。

根据 Warren Weckesser 的评论，您可以通过使用 2**.5/2 的“真实”值来代替您的简写 .707s，从而在一定程度上减少数字误差：

signal = numpy.array([0, 2**.5/2, 1, 2**.5/2, 0, -2**.5/2, -1, -2**.5/2])
f =  numpy.fft.fft(signal)
print(np.abs(f))

输出：

[0.00000000e+00 4.00000000e+00 0.00000000e+00 2.22044605e-16
 0.00000000e+00 2.22044605e-16 0.00000000e+00 4.00000000e+00]

复数的绝对值就是它的大小。根据Fourier transform wiki：

傅里叶变换在一点上的大小是有多少频率内容