比 o(n) 更快地计算 a^n 的模答案

【问题标题】：calculating modulo of a^n faster than o(n) [duplicate]比 o(n) 更快地计算 a^n 的模
【发布时间】：2019-05-25 16:06:16
【问题描述】：

我需要计算(a^n) mod b。我使用了这个 java 代码，但是当n 太大时它不够快。

for (long i = 0; i < n; i++) {
    ans = (ans * a) % b;
}

正如你在上面的代码中看到的，n 是一个long 数字，所以这个算法不够快。你有什么更快的算法吗？可能看起来像这个问题，但有点不同：Fast way to calculate n! mod m where m is prime?

【问题讨论】：

平方取幂

标签： java c++ algorithm data-structures

【解决方案1】：

利用模运算的性质

(x × y) modulo b == ((x modulo b) × (y modulo b)) modulo b

使用上面的乘法规则

(a^n) modulo b
= (a × a × a × a ... × a) modulo b 
= ((a modulo b) × (a modulo b) × (a modulo b) ... × (a modulo b)) modulo b

通过分而治之的方法计算结果。递归关系将是：

f(x, n) = 0                     if n == 0

f(x, n) = (f(x, n / 2))^2       if n is even
f(x, n) = (f(x, n / 2))^2 * x   if n is odd

这里是 C++ 实现：

int powerUtil(int base, int exp, int mod) {
    if(exp == 0) return 1;
    int ret = powerUtil(base, exp / 2, mod) % mod;
    ret = 1LL * ret * ret % mod;
    if(exp & 1) {
        ret = 1LL * ret * base % mod;
    }
    return ret;
}

double power(int base, int exp, int mod) {
    if(exp < 0) {
        if(base == 0) return DBL_MAX; // undefined
        return 1 / (double) powerUtil(base, -exp, mod);
    }
    return powerUtil(base, exp, mod);
}

时间复杂度为O(logn)。

Here is my original answer。希望对您有所帮助！

【讨论】：

因为结果是mod，而你想要精度，我会使用long（或long long）而不是double
@Kaidul 谢谢。成功了！

【解决方案2】：

您可以使用线程来划分 n。然后当你finalize为mul时，你可以mul最后的结果，然后制作mod。

例如：

n=4 然后分开 2 个线程，每个线程将如下：

int ans=1;
for(int i =0; i<n_thread;i++){
   ans = ans*a;
}

最后，当线程完成时，您必须计算结果，然后制作 b 的 mod。我不会告诉你如何使用线程，因为你必须自己学习，但是如果你在搜索和了解线程后对线程有疑问，那么你可以寻求帮助。

【讨论】：