Prim 的加权有向图算法

Question

我正在学习最小生成树。我通过 Prim 的加权有向图算法。

算法很简单

• 您有两组顶点，已访问和未访问
• 将所有边的距离设置为无穷大
• 从未访问集中的任何顶点开始并探索其边缘
• 在所有边中，如果目标顶点未被访问且边的权重小于目标顶点的距离，则使用边的权重更新目标顶点的距离
• 选择距离最小的未访问过的顶点，然后再重复一遍，直到所有顶点都被访问过

相信通过上面的算法，我一定能在所有生成树中找到代价最小的生成树，即最小生成树。

但是我把它应用到下面的例子中，我认为它失败了。

考虑下面的例子

顶点是 {v1,v2,v3,v4,v5} 和权重的边
(x,y) : w =>
(v1,v2) : 8
(v1,v3) : 15
(v1,v4) : 7
(v2,v5) : 4
(v4,v5) : 7

首先我探索 v1，它有到 v2、v3、v4 的边，所以图变成了
访问顶点 v1 并且 (顶点, 距离) =>
(v2,8)
(v3,15)
(v4,7)

现在 v4 的距离最短，即 7，所以我探索 v4，它与 v5 有边缘，所以会发生以下修改
访问顶点 v4 并且 (vertex, distance) => (v5,7)

现在 v5 的距离最短，即 7 ，所以我探索 v5 并且它没有任何边缘，所以我只是将其标记为已访问

Vertex v5 被访问

现在，混乱从这里开始

距离最小的顶点现在是 v2，它的边到 v5，权重为 4，当前 v5 的距离为 7，之前由边 (v4,v5) : 7 分配，所以，我相信这样做最小生成树，v5 的距离应该从 7 更新到 4，因为 4

我说对了吗？还是我做错了什么？

谢谢

Answer 1

首先我要提一下，Prim 的算法只适用于 无向 图，所以如果我们认为该图是无向的，这是算法在您的案例中的逐步进展：

并且您应该考虑到在有向图中多次找到最小生成树是不可能的，但是对于有向图，最接近 MST 的概念是最小成本树状结构。