我正在寻找解决以下问题的算法：
我有两组向量，我想找到最接近从输入向量到输出向量的转换的矩阵。
向量是 3x1，所以矩阵是 3x3。
这是一般问题。我的特殊问题是我有一组 RGB 颜色，以及另一组包含所需颜色的颜色。我正在尝试找到一种 RGB 到 RGB 的转换，它可以让我的颜色更接近所需的颜色。
输入和输出向量之间存在对应关系，因此计算应该最小化的误差函数是容易的部分。但是我怎样才能最小化这个功能呢？
【问题讨论】：
标签： optimization linear-algebra blas colormatrix
这是一个经典的线性代数问题，搜索的关键词是“多元线性回归”。
多年来，我不得不多次编写这种变体的代码。例如，校准数位板或触控笔触摸屏的代码使用相同的数学运算。
这是数学：
令p为输入向量，q为对应的输出向量。
你想要的变换是一个 3x3 矩阵；称之为A。
对于单个输入输出向量p和q，存在误差向量e
e = q - A x p
误差幅度的平方是一个标量值：
eT x e = (q - A x p) T x (q - A x p)
（其中 T 运算符是转置的）。
您真正想要最小化的是集合中 e 值的总和：
E = 总和 (e)
这个最小值满足矩阵方程 D = 0 其中
D(i,j) = E 对 A(i,j)
的偏导数假设你有 N 个输入和输出向量。
您的输入 3 向量集是一个 3xN 矩阵；将此矩阵称为 P。 P的第i列是第i个输入向量。
输出 3 向量的集合也是如此；将此矩阵称为 Q。
当你把所有的代数都研究一遍时，解决方案是
A = Q x PT x (P x PT ) ^-1
（其中 ^-1 是逆运算符——抱歉没有上标或下标）
算法如下：
根据输入向量集创建 3xN 矩阵P。
从一组输出向量中创建 3xN 矩阵 Q。
矩阵乘法 R = P x 转置 (P)
计算 R
的逆矩阵乘法A = Q x transpose(P) x inverse (R)
使用您选择的线性代数库的矩阵乘法和矩阵求逆例程。
然而，3x3 仿射变换矩阵能够缩放和旋转输入向量，但不进行任何平移！对于您的问题，这可能不够通用。通常最好在每个 3 向量的末尾附加一个“1”以生成一个 4 向量，并寻找最小化误差的最佳 3x4 变换矩阵。这不会有伤害；它只会更好地拟合数据。
【讨论】：
您没有指定语言，但这是我在 Matlab 中解决问题的方法。
你要解决系统
M*v1 = v2
M = v2*inv(v1)
但是，v1 不是直接可逆的，因为它不是方阵。 Matlab 将通过 mrdivide 操作 (M = v2/v1) 自动解决这个问题，其中 M 是最佳拟合解决方案。
eg:
>> v1 = rand(3,10);
>> M = rand(3,3);
>> v2 = M * v1;
>> v2/v1 - M
ans =
1.0e-15 *
0.4510 0.4441 -0.5551
0.2220 0.1388 -0.3331
0.4441 0.2220 -0.4441
>> (v2 + randn(size(v2))*0.1)/v1 - M
ans =
0.0598 -0.1961 0.0931
-0.1684 0.0509 0.1465
-0.0931 -0.0009 0.0213
This 提供了一个与语言无关的解决方案。
【讨论】：
一些线性代数就足够了：
写出输入和输出之间的平均平方差（每个输入和输出值之间每个差的平方和）。我认为这是“最佳近似”的定义
这是 9 个未知矩阵系数的二次函数。
要最小化它，请对它们中的每一个进行推导。
您将得到一个线性系统，其中包含 9 个方程，您必须求解才能获得解（唯一的或空间变量，具体取决于输入集）
当差分函数不是二次的时，你可以这样做，但你必须使用迭代方法来求解方程组。
【讨论】：