在 C++ 中通过网格/矩阵找到成本优化路径

Question

我遇到了一个问题，在网上找不到太多帮助。我需要从多个数字向量中找到数字的最小成本组合。所有向量的向量大小相同。 例如，考虑以下内容：

row [0]:  a  b  c  d   
row [1]:  e  f  g  h  
row [2]:  i  j  k  l  

现在我需要通过从每一行（即向量）中取一个元素来找到数字的组合，例如：aei
在此之后，我需要找到其他三个不相交的组合，例如：bfj、cgk、dhl。我根据选择的这四种组合计算成本。目标是找到成本最低的组合。另一种可能的组合可以是：afj、bei、chk、dgl。如果总列数为 d，行数为 k，则可能的总组合为 d^k。这些行存储为向量。我被困在这里，我发现很难为上述过程编写算法。如果有人可以提供帮助，我将不胜感激。
谢谢。

// I am still working on the algorithm. I just have the vectors and the cost function.  

//Cost Function  , it also depends on the path chosen
float cost(int a, int b, PATH to_a) {  
float costValue;  
...  
...  
return costValue;  
}  

vector< vector < int > > row;  
//populate row  
...   
...
//Suppose  

//    row [0]:  a  b  c  d   
//    row [1]:  e  f  g  h  
//    row [2]:  i  j  k  l   

// If a is chosen from row[0] and e is chosen from row[1] then,  
float subCost1 = cost(a,e, path_to_a);  

// If i is chosen from row[2] ,  
float subCost2 = cost(e,i,path_to_e);  

// Cost for selecting aei combination is  
float cost1 = subCost1 + subCost2;  

//similarly other three costs need to be calculated by selecting other remaining elements  
//The elements should not intersect with each other eg. combinations aei and bej cannot exist on the same set.  

//Suppose the other combinations chosen are bfj with cost cost2, cgk with cost cost3   and dhl with cost cost4  
float totalCost = cost1 + cost2 + cost3 + cost4;   

//This is the cost got from one combination. All the other possible combinations should be enumerated to get the minimum cost combination. 

Answer 1

发布更多实用代码

见github：https://gist.github.com/1233012#file_new.cpp

这基本上是一种基于更简单的方法生成所有可能排列的更好方法（因此我之前没有真正的理由发布它：就目前而言，它不会做除了python代码之外的任何东西）。

我还是决定分享它，因为您也许可以从中获得一些利润，作为最终解决方案的基础。

专业版：

• 快得多
  • 更智能的算法（利用 STL 和数学 :)）
  • 指令优化
  • 存储优化
• 通用问题模型
• 模型和算法思想可以作为正确算法的基础
• 为良好的 OpenMP 并行化（n-方式，用于 n 行）设计的基础（但未充实）

对比：

• 以牺牲灵活性为代价，代码效率更高：使用更循序渐进的 Python 方法，调整代码以构建有关约束和成本启发式的逻辑会容易得多

总而言之，我觉得我的 C++ 代码可能是一个大赢家 IFF 事实证明，考虑到成本函数，模拟退火是合适的；代码中采用的方法会给

• 一种高效的存储模型
• 一种生成随机/密切相关的新网格配置的高效方法
• 便捷的显示功能

---

强制（abritrary...）基准数据点（与 python 版本的比较：）

  a  b  c  d e
  f  g  h  i j
  k  l  m  n o
  p  q  r  s t

Result: 207360000

real  0m13.016s
user  0m13.000s
sys   0m0.010s

这是我们到现在为止的：

• 从描述中我收集到建议您有一个基本图表，例如

• 必须构造一条访问网格中所有节点的路径 (Hamiltonian cycle)。

• 额外的限制是后续节点必须取自下一个rank（a-d、e-h、i-l 是三个rank em>；一旦访问了最后一个 rank 中的节点，路径必须与第一个 rank

中的任何未访问节点继续

• 边缘是加权的，因为它们具有相关的成本。然而，权重函数对于图算法来说并不是传统的，因为成本取决于完整路径，而不仅仅是每条边的端点。

鉴于此，我相信我们处于“全覆盖”问题的领域（需要 A* 算法，最著名的是 Knuths Dancing Links 论文）。

具体来说如果没有进一步的信息（路径的等价性，成本函数的特定属性），获得满足约束的“最便宜”汉密尔顿路径的最知名算法将是

• 生成所有可能的这样的路径
• 计算每个的实际成本函数
• 选择成本最低的路径

这就是为什么我开始编写一个非常愚蠢的蛮力生成器，它可以在 NxM 的通用网格中生成所有可能的唯一路径。

宇宙的尽头

3×4 样本网格的输出为 4！³ = 13824 条可能的路径...外推到 6×48 列，得到 6！⁴⁸ = 1.4×10¹³⁷ 种可能性。很明显 如果不进一步优化，问题就难以解决（NP Hard 之类的——我不记得很微妙的定义）。

运行时的爆炸声震耳欲聋：

• 3×4（实测）耗时约0.175s
• 4×5（实测）大约需要 6 分 5 秒（在快速机器上在 PyPy 1.6 下无输出运行）
• 5×6 大约需要 10 年零 9 个月以上...

在 48x6 时，我们会看到...什么... 8.3x10¹⁰⁷年（仔细阅读）

现场观看：http://ideone.com/YsVRE

无论如何，这里是 python 代码（所有预设为 2×3 网格）

#!/usr/bin/python
ROWS = 2
COLS = 3

## different cell representations
def cell(r,c): 
    ## exercise for the reader: _gues_ which of the following is the fastest
    ## ...
    ## then profile it :)
    index = COLS*(r) + c
    # return [ r,c ]
    # return ( r,c )
    # return index
    # return "(%i,%i)" % (r,c)

    def baseN(num,b,numerals="abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"):
        return ((num == 0) and numerals[0]) or (baseN(num // b, b, numerals).lstrip(numerals[0]) + numerals[num % b])

    return baseN(index, 26)

ORIGIN = cell(0,0)

def debug(t): pass; #print t
def dump(grid): print("\n".join(map(str, grid)))

def print_path(path):
    ## Note: to 'normalize' to start at (1,1) node:
    # while ORIGIN != path[0]: path = path[1:] + path[:1] 
    print " -> ".join(map(str, path))

def bruteforce_hamiltonians(grid, whenfound):
    def inner(grid, whenfound, partial):

        cols = len(grid[-1]) # number of columns remaining in last rank
        if cols<1:
            # assert 1 == len(set([ len(r) for r in grid ])) # for debug only
            whenfound(partial)                             # disable when benchmarking
            pass
        else:
            #debug(" ------ cols: %i ------- " % cols)

            for i,rank in enumerate(grid):
                if len(rank)<cols: continue
                #debug("debug: %i, %s (partial: %s%s)" % (i,rank, "... " if len(partial)>3 else "", partial[-3:]))
                for ci,cell in enumerate(rank):
                    partial.append(cell)
                    grid[i] = rank[:ci]+rank[ci+1:] # modify grid in-place, keeps rank

                    inner(grid, whenfound, partial)

                    grid[i] = rank # restore in-place
                    partial.pop()
                break
        pass
    # start of recursion
    inner(grid, whenfound, [])

grid = [ [ cell(c,r) for r in range(COLS) ] for c in range(ROWS) ]

dump(grid)

bruteforce_hamiltonians(grid, print_path)

Answer 2

首先，有一个非常有用的观察结果。

我认为 4!^3 结果并没有捕捉到 { aei, bfj, cgk, dhl } 和（例如）{ bfj, aei, cgk, dhl } 具有 same 的事实成本。

这意味着我们只需要考虑以下形式的序列

{ a??, b??, c??, d?? }

这种等式将不同案例的数量减少了 4！

另一方面，@sehe 有 3x4 得到 4!^3（我同意），所以同样 6x48 需要 48!^6。这些“只有”48!^5 是不同的。现在是 2.95 × 10^305。

使用 3x4 示例，这是一个给出某种答案的算法的开始。

Enumerate all the triplets and their costs. 
Pick the lowest cost triplet.
Remove all remaining triplets containing a letter from that triplet.
Now find the lowest cost triplet remaining.
And so on.

请注意，这不是完全详尽的搜索。

从这里我也看到，这仍然是很多计算。第一次通过仍然需要计算 48^6 (12,230, 590, 464) 成本。我想这是可以做到的，但需要付出很多努力。相比之下，随后的通行证会很便宜。

Answer 3

编辑：添加完整的解决方案

正如其他答案已经指出的那样，您的问题太难以面对蛮力。此类问题的出发点始终是Simulated annealing。我创建了一个实现该算法的小应用程序。

查看问题的另一种方法是最小化复杂函数。此外，您对可能的解决方案有额外的限制。我从一个随机有效配置（满足您的约束）开始，然后我修改了该随机解决方案，每次更改一个元素。我强制应用程序执行有效的转换。代码很清晰。

我已经创建了一个模板函数，所以你只需要提供必要的函数对象和结构。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <functional>

//row [0]:  c00  c01  c02  c03   
//row [1]:  c10  c11  c12  c13  
//row [2]:  c20  c21  c22  c23 


typedef std::pair<int,int> RowColIndex;
// the deeper vector has size 3 (aei for example)
// the outer vector has size 4
typedef std::vector<std::vector<RowColIndex> > Matrix;

size_t getRandomNumber(size_t up)
{
    return rand() % up;
}

struct Configuration
{
    Configuration(const Matrix& matrix) : matrix_(matrix){}
    Matrix matrix_;
};

std::ostream& operator<<(std::ostream& os,const Configuration& toPrint)
{
    for (size_t row = 0; row < toPrint.matrix_.at(0).size(); row++)
    {
        for (size_t col = 0; col < toPrint.matrix_.size(); col++)
        {
            os << toPrint.matrix_.at(col).at(row).first  << "," 
               << toPrint.matrix_.at(col).at(row).second << '\t';
        }
        os << '\n';
    }   
    return os;
}

struct Energy 
{ 
    double operator()(const Configuration& conf)
    {
        double result = 0;
        for (size_t col = 0; col < conf.matrix_.size(); col++)
        {
            for (size_t row =0; row < conf.matrix_.at(col).size(); row++)
            {
                result += pow(static_cast<double>(row) - static_cast<double>(conf.matrix_.at(col).at(row).first),2) +
                          pow(static_cast<double>(col) - static_cast<double>(conf.matrix_.at(col).at(row).second),2);
            }
        }
        return result;
    }
};

size_t calculateNewColumn(std::vector<int>& isAlreadyUse)
{
    size_t random;
    do
    {
        random = getRandomNumber(isAlreadyUse.size());
    }
    while (isAlreadyUse.at(random) != 0);

    isAlreadyUse.at(random) = 1;
    return random;
}

Configuration createConfiguration(size_t numberOfRow,size_t numberOfColumn)
{
    //create suitable matrix
    Matrix matrix;
    //add empty column vector
    for (size_t col = 0; col < numberOfColumn; col++)
        matrix.push_back(std::vector<RowColIndex>());

    //loop over all the element
    for (size_t row = 0; row < numberOfRow; row++)
    {
        std::vector<int> isAlreadyUse(numberOfColumn);
        for (size_t col = 0; col < numberOfColumn; col++)
        {
            size_t newCol = calculateNewColumn(isAlreadyUse);
            matrix.at(newCol).push_back(std::make_pair(row,col));
        }
    }   

    return Configuration(matrix);
}


struct CreateNewConfiguration
{
    Configuration operator()(const Configuration& conf)
    {
        Configuration result(conf);

        size_t fromRow = getRandomNumber(result.matrix_.at(0).size());

        size_t fromCol = getRandomNumber(result.matrix_.size());
        size_t toCol = getRandomNumber(result.matrix_.size());

        result.matrix_.at(fromCol).at(fromRow) = conf.matrix_.at(toCol).at(fromRow);
        result.matrix_.at(toCol).at(fromRow) = conf.matrix_.at(fromCol).at(fromRow);

        return result;
    }
};

template<typename Conf,typename CalcEnergy,typename CreateRandomConf>
Conf Annealing(const Conf& start,CalcEnergy energy,CreateRandomConf createNewConfiguration,
               int maxIter = 100000,double minimumEnergy = 1.0e-005)
{
    Conf first(start);
    int iter = 0;
    while (iter < maxIter && energy(first) > minimumEnergy )
    {
        Configuration newConf(createNewConfiguration(first));
        if( energy(first) > energy(newConf))
        {
            first = newConf;
        }
        iter++;
    }
    return first;
}

int main(int argc,char* argv[])
{

    size_t nRows = 25;
    size_t nCols = 25;
    std::vector<Configuration> res;
    for (int i =0; i < 10; i++)
    {
        std::cout << "Configuration #" << i << std::endl;
        Configuration c = createConfiguration(nRows,nCols);
        res.push_back(Annealing(c,Energy(),CreateNewConfiguration()));
    }

    std::vector<Configuration>::iterator it = res.begin();


    std::vector<Configuration>::iterator lowest = it;
    while (++it != res.end())
    {
        if (Energy()(*it) < Energy()(*lowest))
            lowest = it;
    }

    std::cout << Energy()(*lowest) << std::endl;

    std::cout << std::endl;

    std::cout << *lowest << std::endl;


    std::cin.get();
    return 0;
}

当然，您不能保证解决方案是最好的（这是一种启发式方法）。不过，这是一个很好的起点。

您还没有提供完整的功能成本，所以我实现了自己的成本，让我可以简单地检查最终结果。您只需要提供功能成本即可完成。

你可能会让程序更高效，还有很大的改进空间，但逻辑是存在的，你可以很容易地实现你的功能。

复杂性

算法的复杂度为 E*I*C 其中 I = 迭代次数 C = 随机配置的数量（避免局部最小值） E = 计算能量函数（或函数成本）

在这种情况下，E 实际上是 N*M，其中 N 和 M 是初始矩阵的维数。

如果您对模拟退火结果不满意，可以尝试genetic algorithms。

Answer 4

你可以递归解决问题。

该方法的输入是要计算的第一个向量的索引，该向量在函数外部共享。

对于剩余两行的情况，可以使用回溯计算解决方案。在这种情况下，您只需要找到更便宜的配对即可。

对于多于两行的情况，应该调用下一个索引的方法，获取部分结果，然后再次使用回溯计算最小值。

当流回到第一个向量时，可以将结果合并为最终结果。

Answer 5

值得注意的是，对于一些有趣的路径成本选择，有一个多时间算法，例如，如果路径成本是边缘成本的总和，那么可以通过运行找到最优解，对于所有 i，第 i 行和第 i + 1 行的匈牙利算法。