函数 foo 的大 O 表示法是什么？
int foo(char *s1, char *s2)
{
int c=0, s, p, found;
for (s=0; s1[s] != '\0'; s++)
{
for (p=0, found=0; s2[p] != '\0'; p++)
{
if (s2[p] == s1[s])
{
found = 1;
break;
}
}
if (!found) c++;
}
return c;
}
函数foo的效率如何？
a) O(n!)
b) O(n^2)
c) O(n lg(base2) n )
d) O(n)
我会说 O(MN)...？
【问题讨论】：
标签： c++ string algorithm big-o
它是O(n²)，其中 n = max(length(s1),length(s2))（可以在小于二次的时间内确定 - 见下文）。我们来看一个教科书的定义：
f(n) ∈ O(g(n)) 如果存在正实数 c 和正整数 N 使得 f(n) = N
通过这个定义，我们看到 n 代表一个数字 - 在这种情况下，这个数字是传入的字符串的长度。但是，有一个明显的差异，因为这个定义只提供了单个变量函数 f(n) 和在这里，我们清楚地传入了 2 个具有独立长度的字符串。因此，我们搜索 Big O 的多变量定义。然而，正如 Howell 在 "On Asymptotic Notation with Multiple Variables" 中所展示的那样：
“不可能为多变量函数定义大 O 表示法以隐含所有这些 [通常假定的] 属性。”
Big O with multiple variables 实际上有一个正式的定义，但这需要满足单个变量 Big O 之外的额外约束，并且超出了大多数（如果不是全部）算法课程的范围。对于典型的算法分析，我们可以通过将所有变量绑定到限制变量n 来有效地将函数简化为单个变量。在这种情况下，变量（特别是 length(s1) 和 length(s2)）显然是独立的，但可以绑定它们：
方法一
Let x1 = length(s1)
Let x2 = length(s2)
此函数的最坏情况发生在没有匹配项时，因此我们执行 x1 * x2 迭代。
因为乘法是可交换的，所以最坏情况 foo(s1,s2) == 最坏情况 foo(s2,s1)。因此，我们可以不失一般性地假设 x1 >= x2。 （这是因为，如果 x1
方法2（如果你不喜欢第一种方法）
对于最坏的情况（其中 s1 和 s2 不包含公共字符），我们可以在遍历循环之前确定 length(s1) 和 length(s2)（在 .NET 和 Java 中，确定 a string 是 O(1) - 但在这种情况下是 O(n))，将较大的分配给 x1，将较小的分配给 x2。这里很明显 x1 >= x2。
对于这种情况，我们将看到确定 x1 和 x2 的额外计算使这个 O(n² + 2n) 我们使用以下简化规则 which can be found here 简化为 O(n²)：
如果 f(x) 是多项之和，则保留增长率最大的一项，其余的则省略。
结论
对于n = x1（我们的限制变量），例如x1 >= x2，最坏的情况是x1 = x2。
因此：f(x1) ∈ O(n²)
额外提示
对于所有homework problems posted to SO related to Big O notation，如果答案不是以下之一：
O(1)
O(log log n)
O(log n)
O(n^c), 0<c<1
O(n)
O(n log n) = O(log n!)
O(n^2)
O(n^c)
O(c^n)
O(n!)
那么问题是可能最好发布到https://math.stackexchange.com/
【讨论】：
m 和n 是一样的？这对我来说没有意义。在数学上，O(mn) 和 O(n^2) 是完全不同的东西。
O 中的变量所代表的）。由于m 和n 独立变化，并且它们代表字符串的长度，因此对它们的迭代是线性的。大 O 表示法不区分实际值 - 只是数量级。
n 在您的答案中实际表示什么，否则O(n^2) 毫无意义。
m 和 n 的意思是字符串的长度 s1 和 s2。
O(m n)？
在大 O 表示法中，我们总是必须定义出现的变量的含义。 O(n) 没有任何意义，除非我们定义 n 是什么。通常，我们可以忽略此信息，因为从上下文中可以清楚地看到它。例如，如果我们说某个排序算法是O(n log(n))，n 总是表示要排序的项目数，所以我们不必总是说明这一点。
关于 big-O 表示法的另一个重要的事情是它只给出了一个上限——O(n) 中的每个算法也在O(n^2) 中。该符号通常被用作表示“算法具有表达式给出的精确渐近复杂度（直到一个常数因子）”，但它的实际定义是“算法的复杂度受给定表达式的限制（直到一个常数因素）”。
在您给出的示例中，您将m 和n 分别作为两个字符串的长度。有了这个定义，算法确实是O(m n)。如果我们将n定义为两个字符串中较长的长度，我们也可以写成O(n^2)——这也是算法复杂度的上限。而n的定义相同，算法也是O(n!)，但不是O(n)或O(n log(n))。
【讨论】：
O(m n) 是唯一描述精确渐近行为的表达式。如果我们保持其中一个字符串的长度固定，它会捕捉到算法实际上是O(n)。但是如果不固定其中一个，仅使用最大长度n 我们可以给出的最严格的界限是O(n^2)——毕竟，这两个字符串仍然有可能具有相同的长度。
O(n!)，他肯定会被标记为错误的。
O(n^2)
就复杂性而言，函数的相关部分是嵌套循环。最大迭代次数是 s1 的长度乘以 s2 的长度，两者都是线性因子，所以最坏情况的计算时间是 O(n^2)，即线性因子的平方。正如 Ethan 所说，O(mn) 和 O(n^2) 实际上是一回事。
【讨论】：
这样想：
有两个输入。如果函数只是简单地返回，那么它的性能与参数无关。这将是 O(1)。
如果函数在一个字符串上循环，则性能与该字符串的长度呈线性关系。因此 O(N)。
但是函数在循环中有一个循环。性能与s1的长度和S2的长度有关。将这些长度相乘，就得到循环迭代的次数。它不再是线性的，它遵循曲线。这是 O(N^2)。
【讨论】：