x=16 的总和 x^5 + x^4 + x^3...+x^0（可能按位计算？）的最快计算答案

【问题标题】：Fastest computation of sum x^5 + x^4 + x^3...+x^0 (Bitwise possible ?) with x=16x=16 的总和 x^5 + x^4 + x^3...+x^0（可能按位计算？）的最快计算
【发布时间】：2014-01-04 01:55:32
【问题描述】：

对于利用缓存行预取的树布局（reading _next_ cacheline 很便宜），我需要以非常快速的方式解决地址计算。我能够将问题归结为：

newIndex = nowIndex + 1 + (localChildIndex*X)

x 例如：X = 4⁵ + 4⁴ + 4³ + 4² +4⁰.

注意：4 是分支因子。实际上它将是 16，所以是 2 的幂。这应该对使用按位的东西有用吗？

如果它需要一个循环来计算 X (performancewise) 和除法/乘法之类的东西，那就太糟糕了。这是一个有趣的问题，我无法想出一些好的计算方法。

由于它是树遍历的一部分，因此可以使用 2 种模式：绝对计算，独立于先前的计算和增量计算，从将高 X 保存在变量中开始，然后在每个更深层次对其进行一些最小的操作树。

我希望我能够弄清楚数学应该做什么。不确定是否有办法快速且无循环地做到这一点 - 但也许有人可以提出一个非常聪明的解决方案。我要感谢大家的帮助 - StackOverflow 过去一直是我的好老师，我希望随着我知识的增长，将来能够回馈更多。

【问题讨论】：

澄清一下：^ 是幂还是异或？
身份：X^n + X^(n-1) + ... + X^1 + X^0 = {X^(n + 1) - 1} / {X - 1}
也是x 变量吗？否则这将是微不足道的。
@Nabla - 好点。如果x是固定的，只需计算一次并存储即可。
它的力量。对不起，应该澄清一下。是的，x 是固定的，因为它取决于分支因子（通常为 16）。我也在考虑一个查找表。不过不确定。

标签： c math optimization assembly hpc

【解决方案1】：

我将以越来越复杂和普遍性的方式回答这个问题。

如果 x 固定为 16，则只需使用常量值 1118481。万岁！（命名它，使用神奇的数字是不好的做法）
如果您在编译时知道一些情况，请使用一些常量甚至定义，例如：
```
#define X_2 63
#define X_4 1365
#define X_8 37449
#define X_16 1118481
...
```
如果您在执行时有多个已知情况，请初始化并使用以指数为索引的查找表。
```
int _X[MAX_EXPONENT]; // note: give it a more meaningful name :)
```
初始化它，然后在执行时使用 2^exp 的已知指数进行访问。
```
newIndex = nowIndex + 1 + (localChildIndex*_X[exp]);
```
这些值是如何预先计算的，或者如何在运行中有效地计算它们：和X = x^n + x^(n - 1) + ... + x^1 + x^0 是一个geometric serie，它的有限和是：
```
X = x^n + x^(n - 1) + ... + x^1 + x^0 = (1-x^(n + 1))/(1-x)
```
关于按位运算，正如 Oli Charlesworth 所说，如果 x 是 2 的幂（二进制 0..010..0）x^n 也是 2 的幂，并且 不同 2 的幂等价于 OR 操作。因此我们可以这样表达：

设exp 为指数，使得 x = 2^exp。（对于 16，exp = 4）。那么，
```
X = x^5 + ... + x^1 + x^0
X = (2^exp)^5 + ... + (2^exp)^1 + 1
X = 2^(exp*5) + ... + 2^(exp*1) + 1
```
现在使用按位，2^n = 1<<n
```
X = 1<<(exp*5) | ... | 1<<exp | 1
```
在 C 中：
```
int X;
int exp = 4; //for x == 16
X = 1 << (exp*5) | 1 << (exp*4) | 1 << (exp*3) | 1 << (exp*2) | 1 << (exp*1) | 1;
```
最后，我忍不住要说：如果你的表达式更复杂，你必须在 x 中计算任意多项式 a_n*x^n + ... + a_1*x^1 + a_0，而不是实现明显的循环，这是一种更快的计算多项式使用Horner's rule。

【讨论】：