将双线性优化程序公式化为整数线性程序答案

【问题标题】：Formulating a bilinear optimization program as an integer linear program将双线性优化程序公式化为整数线性程序
【发布时间】：2013-11-08 05:18:28
【问题描述】：

在我的工作中，我遇到了以下问题：给定一个相似度矩阵 D，其中 $d_{i,j} \in \Re$ 表示对象 $i$ 和 $j$ 之间的相似度，我想选择 $k$ 个对象，对于 $k \in {1, \dots, n}$，以最小化所选对象之间的相似性的方式。我第一次尝试正式制定这个问题是使用以下整数程序：

$\minimize$ $d_{1,2}X_1X_2 + d_{1,3}X_1X_3 + \dots + d_{1,n}X_1X_n + d_{2,1}X_2X_1 + \dots + d_{n, n-1}X_nX_{n-1} $

使得 $X_1 + X_2 + \dots + X_n = k$ 和 $X_y \in {0,1}$，对于 $y=1,\dots,n$

在上面的程序中，$X_y$ 表示对象$y$ 是否被选中。显然，上述程序不是线性的。我试图通过使用变量 $X_{1,2} $ 使目标函数成为线性的，这表明是否同时选择了对象 $X_1$ 和 $X_2$。但是，我正在努力制定必须精确选择 $k$ 个对象的约束，即先前的约束 $X_1 + X_2 + \dots + X_n = k$。

由于我不是数学编程方面的专家，我想知道您是否可以帮助我。

提前感谢您！万事如意，

亚瑟

【问题讨论】：

Stack Overflow 不支持 Latex （正如您在发布问题之前从预览中看到的那样），请适当编辑。另外，我认为这个问题不适合Stack Overflow，但我不确定它属于哪里（也许检查the list of SE sites）。

标签： integer-programming

【解决方案1】：

你是在正确的道路上，只是错过了一件事：

如果对象 i 被选中，则 x_i 为 1，否则为 0。

如果对象i & j 都被选中，则让y_ij 为1，否则为0

IP如下：

最大化

sum d_ij y_ij

s.t.

sum x_i = k

x_i + x_j - 1 <= y_ij for all i<j

x & y binary variables

看起来很奇怪的链接约束说y_ij = 1 iff x_i + x_j =2

每对只定义一个 y 变量！

希望对你有帮助

【讨论】：