定义一个使对称矩阵相等的函数

Question

一点背景

我正在编写一个卷积神经网络（用 c++ 编写）来在 4 x 4 网格上玩井字游戏。我想通过使用井字棋板继承旋转和二面体对称这一事实来优化它。我的意思是，如果您可以为给定的棋盘找到一个最佳移动，即使您旋转或镜像棋盘，它也会保持不变。所以我正在寻找的是一个删除矩阵的任何镜像或旋转的功能，因此网络会将所有旋转和/或镜像的板视为相同并以相同的方式响应它们。换句话说，对于任何矩阵 M，让它的旋转和/或镜像版本为 M'，该函数将为所有 M' 返回 M。

This article 讨论了网络架构中的旋转和二面体对称实现，但我认为在我的情况下，输入比图像小很多，实现起来会更容易（并且会保持网络更小） ) 只需转换输入。我没有确凿的证据表明这会提高我的网络性能，但我渴望对其进行测试。

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我的方法

我的棋盘只包含零、一和二。零是空白，一代表友方单位，二代表你对手的单位。我一直在考虑下一张图片所示的以下方法（绿色：友好，红色：对手）：

1. 计算敌方单位的平均位置和友方单位的平均位置
2. 确保从敌方平均值到友方平均值的顺时针角度（以中心为第三点）低于 180 度。如果不是，请镜像董事会
3. 旋转棋盘，直到友好的平均值指向左侧或棋盘的左上四分之一

然后当然会在需要时处理特殊情况（例如平均值位于中心时）。

现在这种方法似乎可行，但我怀疑这是最好的方法。我想知道是否已经有用于此目的的函数使用矩阵数学，或者我是否错过了有用的数学快捷方式或类似的东西。这是一个非常关键的优化部分，因为此操作将在每个网络移动之前完成，在我的训练计划中，这意味着每秒数千次。

Answer 1

这个问题的一个巧妙的解决方案是在所有板上定义一个total ordering，然后给一个板，将其“规范”表示定义为它的 8 个对称版本中的任何一个在该排序中是“最低”的。没有其他要求；任何总排序都可以。

定义总顺序的一种简单方法是通过到整数的映射来归纳。由于有 16 个单元，每个单元具有三种状态之一（红色、绿色或空），我们可以将板状态映射到无符号 32 位整数，其中每个单元由两位表示：10 表示红色， 01 表示绿色，00 表示空白，这恰好是您已经用于板中单元格的数字表示。

你的例子：

• 01 10 00 00 10 01 00 00 01 00 00 00 00 01 00 00 是原版。
• 00 01 10 01 01 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 00 是顺时针旋转 90 度。
• 00 00 01 00 00 00 00 01 00 00 01 10 00 00 10 01 是 180 度旋转。
• 00 00 00 00 00 00 00 00 10 01 00 01 01 10 01 00 是逆时针旋转 90 度。
• 00 00 10 01 00 00 01 10 00 00 00 01 00 00 01 00 是水平镜像。
• 00 01 00 00 01 00 00 00 10 01 00 00 01 10 00 00 是垂直镜像。
• 01 10 01 00 10 01 00 01 00 00 00 00 00 00 00 00 为东南对角镜像。
• 00 00 00 00 00 00 00 00 01 00 01 10 00 01 10 01 为西南斜镜像。

这八个中最小的数字是最后一个，因此该板的“规范”版本是西南对角线镜像：