8邻域中的最小点链接答案

【问题标题】：Minimum point link in 8-neighborhood8邻域中的最小点链接
【发布时间】：2017-10-26 06:18:36
【问题描述】：

这是我的问题，我有一个矩阵中的点列表，我想链接所有这些点并最小化这个覆盖。我在 8-neighborhood 工作，并且链接也必须在点上。

例如，一种解决方案：

╔═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╗
║   ║ * ║*2 ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║ 5*║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║ * ║   ║   ║ 3*║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║ * ║   ║   ║ * ║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║   ║ * ║ * ║   ║ * ║   ║ * ║ * ║*4 ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║ 1*║   ║   ║   ║   ║ 6*║   ║   ║   ║
╚═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╝

另一个：

╔═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╗
║   ║   ║*2 ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║ 5*║ * ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║   ║ * ║   ║ 3*║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║   ║   ║ * ║   ║ * ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║   ║ * ║   ║   ║   ║ * ║ * ║ * ║*4 ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║ 1*║   ║   ║   ║   ║ 6*║   ║   ║   ║
╚═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╝

所以我搜索了一个算法来找到我的一组点的最小覆盖。我在互联网上搜索，但没有找到我需要的，但类似的问题，如最小生成树、最小顶点覆盖......

一些想法将不胜感激

【问题讨论】：

您的“最小”指标是什么？总路径长度（使用什么距离度量）？总加分？我想知道，因为从任何表现良好的指标来看，给定的解决方案都不是最小的。
总路径长度最小，以涵盖我的所有观点。距离为 1 它是网格，所以如果我们移动到 8 邻域附近的情况下，成本是 1，所以我想找到最佳路径

标签： algorithm matrix optimization cover

【解决方案1】：

直线 Steiner 算法并不是您想要的；它主要取决于可用移动的正交性。

相反，我认为您需要 Bresenham 的线算法（正如您已经说过的）来连接具有添加的 Steiner 节点的基本属性的点：每个 Steiner 节点都有三个以 120 度角相交的边。 The node is the Fermat point of a triangle with appropriately chosen vertices (such that those vertices form a minimal triangle in the Steiner tree).

在您的示例中，您的最小三角形是节点 2、3、5；费马点 A（四舍五入到格子）就在 5 的右侧，如第二张图所示。您的连接树是节点 2、3、5、A。

下一个包含新节点的“最佳”三角形是 A、3、1。费马点 B 将与节点 2 位于同一列，并且在节点 3 下方一行。连接树现在是 1、2 , 3, 5, A, B.

扩展过程，你剩下的三角形将是 3、B、6（加点 C）和（我认为）C、6、4。然后会有少量的晶格抖动以达到最终结果（去除B 和 C 从树）。这是你的第二个例子。请注意，原始连接 AB 和 B1 可能选择了左侧一个单元；抖动需要让它们更靠近节点 3，然后从树中删除 B。

╔═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╦═══╗
║   ║   ║*2 ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║ 5*║ A*║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║   ║ * ║   ║ 3*║   ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║   ║ B ║ * ║ C ║ * ║   ║   ║   ║   ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║   ║ * ║   ║   ║   ║ D*║ * ║ * ║*4 ║
╠═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╬═══╣
║   ║ 1*║   ║   ║   ║   ║ 6*║   ║   ║   ║
╚═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╩═══╝

【讨论】：

【解决方案2】：

这是Steiner tree problem 和 NP-hard。

在您的示例中，您似乎在这里有一个 8 邻域网格，因为允许使用对角线。在 4-neighborhood 的情况下，有一个特殊的版本称为Rectilinear Steiner tree （仍然是 NP-hard）。

您的问题似乎是图形变体中的施泰纳树示例。

【讨论】：

是的，这正是我想要的 Bresenham 线算法。谢谢你的回答。