二叉搜索树的数量答案

【问题标题】：The number of binary search trees二叉搜索树的数量
【发布时间】：2018-09-06 06:11:28
【问题描述】：

具有 20 个节点且元素为 1,2,3,...,20 的二叉搜索树的数量是多少，使得树的根为 12，左子树的根为 7？一）2634240 b) 1243561 c) 350016 d) 2642640

解释和答案会很有帮助。

我已经应用了加泰罗尼亚数字公式，但结果与选项不合适，所以这只是为了确定。

【问题讨论】：

左子树的根是7开头还是左树本身是7且只有7
你能展示你对加泰罗尼亚数公式的应用吗？那么也许我们可以指出你哪里出错了。顺便说一句，这可能更适合math.stackexchange.com，除非您希望通过实施某种蛮力搜索来解决这个问题。
左子树的根为 7，并有其他元素作为其子树。
Cn= (2n)!/((n+1)!*n!) ;我用了这个公式
我在每个节点上都有值，总共有 20 个节点，值为 12 的节点是根，值为 7 的节点是值为 12 的节点的左子树的根。

标签： algorithm data-structures tree

【解决方案1】：

使用Catalan numbers，计算具有n 节点的完整二叉树，答案将是d) 2642640 = 14 * 132 * 1430。这就是从我们每个未知子树扩展（子）树的可能性。

           12
          /  \
         7    (8 nodes)
        / \
(6 nodes) (4 nodes)

更新：

正如 Mark Dickinson 在下面的 cmets 中所建议的，澄清一下：上图中和第一条语句中提到的“节点”是“内部”节点，我们正在以各种方式排列它们，而 nth加泰罗尼亚数字正在计算 具有n+1 叶节点的完整二叉树。 Binary trees with l leaf nodes have l - 1 internal nodes.

【讨论】：

Nitpick：完整的二叉树在这里不太合适；我们对一般二叉树感兴趣，因此可能值得解释为什么（例如）C_6 适合用于 6 节点树的数量。（相比之下，具有 6 个 leaf 节点的完整二叉树的数量是 C_5，这不是您想要的，而具有 6 个 total 节点的完整二叉树的数量节点为零，因为任何完整的二叉树都有奇数个节点。）
@MarkDickinson 好点。但是，“完整的二叉树”在这里对我来说似乎很合适，语言是从维基百科中这个加泰罗尼亚数字应用程序的描述中借来的。我们忽略了叶子，只计算节点（顶点），这正是因为在“满二叉树”中，每个顶点（节点）都有“两个孩子或没有孩子”，但在我们的例子中，树并不满。例如，具有 4 个节点的树变体有 5 个叶子，这就是为什么 C_4 适合我们的“4 节点”子树。
是的，完全正确。我不争辩 C_6 * C_4 * C_8 是正确的。我建议通过包含一些额外的解释来改进答案。我们确实想要“具有n 节点的完整二叉树”的数量，但在这种情况下，n 的相关值是 13、9 和 17，似乎值得解释这些值的来源从。或者，为了与 Wikipedia 兼容，更改为“具有 n 个叶节点的完整二叉树”可能更清楚，然后解释为什么我们要使用 n=7、n=5 和 n=9 而不是n=6、n=4 和 n=8，这是您当前的答案隐含的建议。
@MarkDickinson 已编辑。如果您认为可以改进，请随时编辑。

【解决方案2】：

这基本上是希望您计算特定数量节点可能的唯一 BST 数量。
最终，最终结果将是这些数字的乘积。
如果这是在考试中，那么您将不得不进行乘法运算。否则，您可以使用dynamic programming 以编程方式解决此问题。

代码：

class Solution {
        public int numTrees(int n) {
           if(n < 3) return n;
           int[] dp = new int[n+1];
           dp[0] = 1; // just initializing it as base case
           dp[1] = 1;// meaning, only 1 possibility for 1 node.
           dp[2] = 2;// meaning, only 2 possibilities for 2 nodes.

           for(int i=3;i<=n;++i){
               for(int j=1;j<=i;++j){
                   int nodes_on_left_of_j  = j - 1;
                   int nodes_on_right_of_j = i - j;
                   dp[i] += dp[nodes_on_left_of_j] * dp[nodes_on_right_of_j]; // so multiply left side possibilites with right side possibilites for a particular root node.
               }
           }

           return dp[n];
        }
    }

【讨论】：