如果有多个约束（例如，同时有体积限制和重量限制，其中每个物品的体积和重量不相关），我们得到多重约束背包问题，多维背包问题，或 m 维背包问题。
如何以最优化的方式对此进行编码？好吧，人们可以开发一种强力递归解决方案。可能是分支和绑定的。但在大多数情况下，它基本上是指数级的，直到您进行某种记忆或使用动态编程，如果做得不好，这又会占用大量内存。
我面临的问题是这样的
我有我的背包功能 KnapSack(Capacity, Value, i) 代替普通的 KnapSack ( Capacity , i ) 因为我对这两个都有上限。有人可以指导我吗？或提供合适的资源来解决这些问题，以相当大的n
或者这个 NP 是完整的吗？
谢谢
【问题讨论】：
标签： algorithm recursion knapsack-problem
具有多个约束的背包是一个包装问题。阅读。 http://en.wikipedia.org/wiki/Packing_problem
【讨论】：
作为一个很好的例子可以解决以下问题：
给定一个具有正权重和 N 个顶点的无向图 G。
你从有一笔 M 钱开始。为了通过顶点 i，您必须支付 S[i] 钱。如果你没有足够的钱——你不能通过那个顶点。求出从顶点 1 到顶点 N 的最短路径，尊重上述条件；或声明这样的路径不存在。如果存在多个具有相同长度的路径，则输出最便宜的路径。限制：1
伪代码：
Set states(i,j) as unvisited for all (i,j)
Set Min[i][j] to Infinity for all (i,j)
Min[0][M]=0
While(TRUE)
Among all unvisited states(i,j) find the one for which Min[i][j]
is the smallest. Let this state found be (k,l).
If there wasn't found any state (k,l) for which Min[k][l] is
less than Infinity - exit While loop.
Mark state(k,l) as visited
For All Neighbors p of Vertex k.
If (l-S[p]>=0 AND
Min[p][l-S[p]]>Min[k][l]+Dist[k][p])
Then Min[p][l-S[p]]=Min[k][l]+Dist[k][p]
i.e.
If for state(i,j) there are enough money left for
going to vertex p (l-S[p] represents the money that
will remain after passing to vertex p), and the
shortest path found for state(p,l-S[p]) is bigger
than [the shortest path found for
state(k,l)] + [distance from vertex k to vertex p)],
then set the shortest path for state(i,j) to be equal
to this sum.
End For
End While
Find the smallest number among Min[N-1][j] (for all j, 0<=j<=M);
if there are more than one such states, then take the one with greater
j. If there are no states(N-1,j) with value less than Infinity - then
such a path doesn't exist.
【讨论】：
合并约束。看http://www.diku.dk/~pisinger/95-1.pdf 第 1.3.1 章称为合并约束。
一个例子是说你有
变量 , 约束 1 , 约束 2
1 , 43 , 66
2 , 65 , 54
3 , 34 , 49
4 , 99 , 32
5 , 2 , 88
将第一个约束乘以某个大数，然后将其添加到第二个约束。
所以你有
变量，合并约束
1 , 430066
2、650054
3 , 340049
4、990032
5、20088
从那里做任何你想用一个约束做的算法。想到这个变量可以容纳多少位数的主要限制器。
【讨论】：
正如你所说的 vol 和 weight 都是正数，试着利用 weight 总是减少的事实：
knap[position][vol][t]
现在t=0 当wt 为正时，t=1 当wt 为负时。
【讨论】：
有一些类似启发式的贪婪算法，可以计算每个项目的“效率”，运行速度很快并产生近似解。
您可以使用分支定界算法。您可以使用类似启发式的贪心算法获得初始下限，该下限可用于初始化现有解决方案。您可以通过一次考虑 m 个约束中的每一个（放松问题中的其他约束）来计算各种子问题的上限，然后使用这些界限中的最低者作为原始问题的上限。这种技术是由于施。但是，如果没有特定的约束倾向于主导解决方案，或者如果来自类似启发式的贪婪算法的初始解决方案不接近最优解，那么这种技术可能不会很好地工作。
有更好更现代的算法更难实现，请参阅 J Puchinger 的“多维背包问题”论文！
【讨论】：