0/1 背包，取决于物品重量？

Question

标准的 0/1 背包要求每件物品的重量独立于其他物品。那么 DP 是一种有效的求解算法。但是现在我遇到了一个类似但扩展了这个问题，即

新项目的重量取决于之前已经存在的项目 背包。

例如，我们有5个项目a、b、c、d和e，重量为w_a、...、w_e。项目b 和c 具有权重依赖性。

当b 已经在背包中时，物品c 的重量将小于w_c，因为它可以与b 共享一些空间，即weight(b&c) < w_b + w_c。对称地，当c已经在背包中时，b的权重会小于w_b。

这种不确定性导致原始 DP 算法失败，因为它依赖于以前迭代的正确性，而现在可能不正确。我已经阅读了一些关于背包的论文，但它们要么具有受利润（二次背包问题）的依赖性，要么具有遵循随机分布的可变权重（随机背包问题）。我也知道上一个问题1/0 Knapsack Variation with Weighted Edges，但是只有一个非常笼统的答案，没有关于这个背包的名字的答案。

一个现有的解决方案：

我还在a paper 中阅读了一个关于 DBMS 优化的近似解决方案，他们在其中group the related items as one combined item for knapsack。如果在我们的示例中使用这种技术，背包的项目将是a、bc、d、e，因此这四个项目中的任何两个项目之间没有更多的依赖关系。然而，很容易构造一个没有得到最佳结果的例子，比如an item with "small weight and benefit" is grouped with another item with "large weight and benefit"。在这个例子中，“小”项不应该在解决方案中被选中，而是与“大”项一起被选中。

问题：

是否有任何一种有效的解决技术可以获得最佳结果，或者至少有一些错误保证？还是我在建模这个问题时采取了错误的方向？

Answer 1

最后我设法用@Holt提出的B&B方法解决了这个问题。以下是关键设置：

(0) 在运行 B&B 算法之前，根据它们的依赖关系对所有项目进行分组。一个分区中的所有项目与同一组中的所有其他项目具有权重依赖性，但与其他组中的项目无关。

民宿设置：

(1) 上限：假设当前项具有最小权重，即假设所有依赖项都存在。

(2) 下界：假设当前项具有最大权重，即假设所有依赖项都不存在。

(3) 当前重量：计算实际当前重量。

上述所有计算都可以通过我们在步骤 0 中得到的组在线性时间内完成。具体来说，在获得这些权重时，仅扫描当前组中的项目（当前项目所在的组）是足够 - 其他组中的项与当前项没有依赖关系，因此不会改变当前项的实际权重。

Answer 2

这是一个非常有趣的问题，我已经研究了一段时间。首先要考虑的是，具有依赖项重量/值的二进制背包问题根本不是微不足道的。您可以考虑使用贝叶斯网络、马尔可夫模型和其他类似技术来解决这个问题。尽管如此，任何解决这个问题的实际方法都必须对优化模型或其输入做出一些假设。这是一个用价值依赖项来制定二元背包问题的例子。 https://arxiv.org/pdf/1702.06662.pdf

在这项工作中，作者提出使用模糊图对输入（与值相关的依赖项）进行建模，然后使用提出的整数线性规划模型来解决优化问题。该作品的扩展版本已被接受出版，并将很快在网上提供。

如果您需要更多信息，请随时与我联系。如果需要，我还可以为您提供模型的源代码。

Answer 3

您不能拥有a、b、c、bc、d 和 e 的项目吗？可能有一个约束，b 和 bc 不能同时在背包中，c 和 bc 也是如此？我的理解是，这将是一个正确的解决方案，因为任何具有b 和c 的解决方案都可以通过用bc 代替（根据定义）来改进。对成员资格的限制应考虑到任何其他情况。