为什么数字在双精度 IEEE754 中（不能）表示？答案

【问题标题】：Why number are (not) representable in double precision IEEE754?为什么数字在双精度 IEEE754 中（不能）表示？
【发布时间】：2017-01-10 12:16:39
【问题描述】：

我对 IEEE754 双精度感到困惑，我考虑了两个问题：
1. 为什么区间中的每个数字 -2⁵⁴, -2⁵⁴+2, -2⁵⁴+4...2^{54 是可表示的？}

2. 为什么 2⁵⁴+2 不可表示？

你能帮帮我吗？我了解 IEEE754 的工作方式 - 但是，我在看到时遇到了问题。

【问题讨论】：

问题2提示：表示2^{54}+2需要多少位？ IEEE-754 binary64（双精度数）的有效位（尾数）包含多少位？
请注意，this style 用于代码，而不是用于随机强调单词。并且可以使用语法 -2⁵⁴. 输入指数
不幸的是，“正确的”指数在 cmets 中不起作用，最后我检查了一下。我希望 SE 人员最终能够为 SO 启用 MathJax。
@njuffa 我可以看到尾数总是 $

标签： floating-point ieee-754 theorem

【解决方案1】：

IEEE 754 双精度数的有效位（或尾数）有 53 位。 −2⁵⁴ 可以精确表示为

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00 (bin)
exponent: 54
sign:     1

现在让我们暂时忘记符号位。与此解释无关。所以假设我们有 +2⁵⁴。

有了这个指数，有效数的最低位——最右位的值为 2^-52 * 2⁵⁴ = 4。所以 2⁵⁴ + 4 编码为：

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01 (bin)
exponent: 54                                                             ^
                                                                lowest bit

但两者之间没有任何价值。所以你不能编码 2⁵⁴ + 2。

为什么 −2⁵⁴ + 2 不是问题？因为这与-(2⁵⁴ - 2)相同，表示为：

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11
exponent: 53 !!
sign:     1

指数 53 表示您有 2^-52 * 2⁵³ = 2 的步数。接下来的 0 值是：

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 10
exponent: 53
sign:     1

是-2⁵⁴ + 4，或者实际上是-(2⁵⁴ - 4)。你可以这样继续下去，直到达到 -2⁵³。

【讨论】：

2^54 - 1 在 IEEE 754 binary64 中无法表示。你的意思是2^53 - 1？（或2^54 - 2？）2^54 + 2 也不是。看起来你的指数都偏了一个。
啊，我明白了。当您计算有效位的最低有效位的值时，您希望乘以 2^-52 而不是 2^-53。
是的，我一直以 1 个指数的幅度偏离。修改答案。我还没喝咖啡。
有了这个指数，有效数的最低——最右——位的值为 2^{-52} * 2^{54} = 4不是真的，毕竟我们总是 1. - 我的意思是它是 (1+2^{-52}) * 2^{54}
我明白为什么 2^{52} +2 不可表示。我不明白你为什么写 (2^{-52} * 2^54)。在我看来，你应该写 ((1+2^{-52})*2^{54})。毕竟，每个尾数（归一化数）> 1，但是你的尾数 = 2^{-52}