浮点相等性测试和额外的精度：这段代码会失败吗？

Question

讨论开始于my answer to another question。以下代码确定machine epsilon：

float compute_eps() {
  float eps = 1.0f;

  while (1.0f + eps != 1.0f)
    eps /= 2.0f;

  return eps;
}

在 cmets 中提出 1.0f + eps != 1.0f 测试可能会失败，因为 C++ 标准允许使用额外的精度。虽然我知道浮点运算实际上是以更高的精度执行的（比使用的实际类型指定的），但我碰巧不同意这个提议。

我怀疑在比较操作期间，例如== 或!=，操作数没有被截断到它们类型的精度。换句话说，1.0f + eps当然可以用比float更高的精度来求值（例如long double），结果会存放在可以容纳long double的寄存器中。但是，我认为在执行!= 操作之前，左操作数将从long double 截断为float，因此代码永远不会无法准确地确定eps（即它永远不会进行比预期更多的迭代）。

我在 C++ 标准中没有找到任何关于这种特殊情况的线索。此外，代码运行良好，而且我确信在其执行期间使用了额外精度技术，因为我毫不怀疑任何现代桌面实现实际上在计算期间使用额外精度。

你怎么看？

Answer 1

很抱歉，这个例子是 C 而不是 C++。应该不难适应：

~ $ gcc -mfpmath=387 -mno-sse2  c.c
~ $ ./a.out 
incredible but true.
~ $ gcc -mfpmath=sse -msse2  c.c
~ $ ./a.out 
~ $ cat c.c
#include "stdio.h"

double d = 3. / 7.;
double d1 = 3.;

int main() {
  if (d != d1 / 7.)
    printf("incredible but true.\n");
  return 0;
}

gcc -msse2 -mfpmath=sse 是一个严格的 IEEE 754 编译器。使用该编译器，if 永远不会被使用。但是，gcc -mno-sse2 -mfpmath=387 必须使用精度更高的 387 单元。它不会降低!= 测试之前的精度。测试最终将右侧的 3. / 7. 的扩展精度结果与左侧相同除法的双精度结果进行比较。这会导致一种可能看起来很奇怪的行为。

gcc -msse2 -mfpmath=sse 和 gcc -mno-sse2 -mfpmath=387 均符合标准。只是前者比较容易，生成 SSE2 指令，因此可以提供严格的 IEEE 754 实现，而后者必须在古老的指令集上尽力而为。

一个循环如：

while (eps1 != 1.0f)
  eps /= 2.0f, eps1 = 1.0f + eps;

eps1 声明为 float 类型在扩展精度方面应该更加健壮。

---

生成在比较之前不截断的x87代码的编译器是这个：

~ $ gcc -v
Using built-in specs.
Target: i686-apple-darwin11
Configured with: /private/var/tmp/llvmgcc42/llvmgcc42-2336.11~148/src/configure --disable-checking --enable-werror --prefix=/Applications/Xcode.app/Contents/Developer/usr/llvm-gcc-4.2 --mandir=/share/man --enable-languages=c,objc,c++,obj-c++ --program-prefix=llvm- --program-transform-name=/^[cg][^.-]*$/s/$/-4.2/ --with-slibdir=/usr/lib --build=i686-apple-darwin11 --enable-llvm=/private/var/tmp/llvmgcc42/llvmgcc42-2336.11~148/dst-llvmCore/Developer/usr/local --program-prefix=i686-apple-darwin11- --host=x86_64-apple-darwin11 --target=i686-apple-darwin11 --with-gxx-include-dir=/usr/include/c++/4.2.1
Thread model: posix
gcc version 4.2.1 (Based on Apple Inc. build 5658) (LLVM build 2336.11.00)

这是另一个：

~ $ clang -mno-sse2  c.c
~ $ ./a.out 
incredible but true.
~ $ clang -v
Apple LLVM version 4.2 (clang-425.0.24) (based on LLVM 3.2svn)
Target: x86_64-apple-darwin12.3.0
Thread model: posix