使用 FFT 进行 2d 卷积时如何变换滤波器？

Question

我想使用 FFT 来加速 2D 卷积。过滤器为 15 x 15，图像为 300 x 300。过滤器的大小与图像不同，因此我无法在 FFT 后进行点积。那么在进行 FFT 之前如何对 filter 进行变换，使其大小与图像匹配呢？

Answer 1

我使用N 是内核大小的约定。

知道卷积没有在边缘（数学上）定义（每个维度的每一端都有N//2），你会在每个轴上丢失N 像素。

您需要为卷积腾出空间：用足够的“中性值”填充图像，以便边缘情况（插入其中的垃圾值）消失。

这将涉及使您的图像成为 307x307 像素的图像（具有合适的填充值，请参阅下一段），在卷积之后会返回 300x300 的图像。

流行的图像处理库已经嵌入了这个：当你要求卷积时，你有额外的参数来指定“模式”。

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我们可以填充哪些值？

从Numpy's pad documentation毫不羞耻地被盗

• 'constant'：具有恒定值的焊盘。
• 'edge' : 使用数组的边缘值填充。
• 'linear_ramp' ：在 end_value 和 arraydge 值之间具有线性斜坡的焊盘。
• '最大'： 具有全部或部分最大值的焊盘 沿每个轴的矢量。
• '意思' 具有全部或部分平均值的焊盘 沿每个轴的矢量。
• '中位数' 具有全部或部分的中值的焊盘 沿每个轴的矢量。
• '最小' 具有全部或部分最小值的焊盘 沿每个轴的矢量。
• '反映' 带有镜像的矢量反射的焊盘 沿每个向量的第一个和最后一个值 轴。
• '对称' 带有镜像的矢量反射的焊盘 沿着阵列的边缘。
• '换行' 使用沿轴的向量环绕的焊盘。 第一个值用于填充结尾和 end 值用于填充开头。

这取决于你，真的，但经验法则是“为手头的任务选择中性值”。

（例如，在进行平均时用 0 填充几乎没有意义，因为 0 在正值的平均值中不是中性的）

Answer 2

这取决于您用于 FFT 的算法，因为它们中的大多数需要处理二元尺寸（2 的幂）的图像。

这是你必须做的：

1. 填充图像：将您的图像居中到一个更大的具有二元尺寸的图像
2. 填充内核：将卷积内核置于与步骤 1 相同尺寸的图像中。
3. 对第 1 步中的图像进行 FFT
4. 第 2 步中内核上的 FFT
5. 第 3 步和第 4 步结果的复数乘法（傅立叶空间）。
6. 在步骤 5 中对结果图像进行逆 FFT
7. 在第 6 步生成的图像上取消填充
8. 将所有 4 个块按正确的顺序排列。

如果您使用的算法不需要二元尺寸，那么第 1 步是无用的，第 2 步必须是图像尺寸的简单填充。