__float128 需要多少 printf 精度才能不丢失信息？答案

【问题标题】：What is required printf precision for a __float128 to not lose information?__float128 需要多少 printf 精度才能不丢失信息？
【发布时间】：2012-02-21 03:32:27
【问题描述】：

我正在尝试使用 libquadmath 打印 __float128，例如：

quadmath_snprintf(s, sizeof(s), "%.30Qg", f);

具有以下三个约束：

输出必须匹配以下产生式：

 number = [ minus ] int [ frac ] [ exp ]

 decimal-point = %x2E       ; .

 digit1-9 = %x31-39         ; 1-9

 e = %x65 / %x45            ; e E

 exp = e [ minus / plus ] 1*DIGIT

 frac = decimal-point 1*DIGIT

 int = zero / ( digit1-9 *DIGIT )

 minus = %x2D               ; -

 plus = %x2B                ; +

 zero = %x30                ; 0

假设任何输入 __float128 "i" 已打印到与上述产生式 "s" 匹配的字符串，然后 "s" 被扫描回 __float128 "j" - "i" 必须按位相同到“j” - 即不应丢失任何信息。至少对于某些值这是不可能的（NaN、Infinity），这些值的完整列表是什么？
应该没有其他字符串满足以上两个条件，即比候选字符串短。

是否有满足上述条件的 quadmath_snprintf 格式字符串（可能时为 1、3 和 2）？如果有，那是什么？

__float128 的哪些值不能通过上述产生式精确表示以满足第 2 点？（例如 Nan、+/-Infinity 等）如何检测 __float128 是否持有这些值之一？

【问题讨论】：

在 __float128 中无法准确表示的十进制数是无限的。任何有效数字超过 34 位的数字。您的格式说明符会为任何 >= 1E5 的绝对数生成随机数字。您的方法存在严重缺陷，可能是从认为您需要 __float128 来解决问题开始的。
在 __float128 中有无数个无法准确表示的十进制数这一事实无关紧要，第 2 点仅要求十进制表示足够精确，以便在回读和四舍五入时相同就像进去的一样。我知道格式说明符不正确，问题要求正确的格式说明符。我的“方法”很好，你不知道我要解决什么问题。

标签： c gcc floating-point glibc

【解决方案1】：

如果您使用的是 x86，那么 GCC __float128 类型是 IEEE 754-2008 binary128 格式的软件实现。如果字符表示包含 36 个有效（十进制）数字，则 IEEE 754 标准要求二进制 -> 字符 -> 二进制往返恢复原始值。因此格式字符串%.36Qg 应该这样做。

NaN 往返不需要恢复原始的按位值。

至于您的要求 #3，libquadmath 不包含这种“最短表示”格式的代码，例如本着 Steele & White paper 或 David Gay 的代码的精神。

【讨论】：

【解决方案2】：

我的直觉告诉我二进制分数 0.1111...1（128 个）；也等于 1-1/2**128 将在转换为十进制时产生最大数量的溢出。将该值转换为十进制（我现在没有 bignum 包），计算位数，再加上 2-3，你应该是安全的。不过，我没有数学证明这已经足够了。

如果 I/O 的精度很重要，我更喜欢将浮点数输出为十六进制字符串。准确的浮点 IO 很难做到正确，而且库在这方面可能存在问题。

【讨论】：

“0.1111...1（128 个）”不能表示为 __float128，但即使将 128 固定为您可能的意思的 113，我不明白为什么这个数字应该是最坏的情况。最坏情况候选的十进制表示将以 1 开头，而不是 9 开头。