重复模式中的整数分解答案

【问题标题】：Integer factorization in repetitive pattern重复模式中的整数分解
【发布时间】：2016-01-07 23:33:48
【问题描述】：

我正在为整数分解的特定情况寻找一种有效的解决方案。高效是指比我目前拥有的 O(2^n) 快得多（n 表示完成后数组中的元素数）。

假设我们有以下数组：[4, 5, 11] 和“目标”为 84。

我们想知道是否可以满足4*a + 5*b + 11*c = 84，

考虑到以下约束：

如果我们没有找到解决方案，我们将一个整数添加到数组中，比如 15：[4, 5, 11, 15]

现在我们想知道有没有什么可以满足4*a + 5*b + 11*c + 15*d = 84

考虑到

...我们重复这个过程，直到找到解决方案，或者最多 n 次。我想知道我们是否可以利用问题的重复性来找到有效的解决方案：

有什么想法吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

首先这个词是错误的。它不是integer factorization，而是一个线性diophantine equation，其中包含许多变量和一些额外的约束。

没有您的限制，这将是一件容易的事。只要找到GCD(list of coefficients)，如果它划分了免费期限 - 你有一个解决方案，否则它没有。

有了您的约束，这可能是第一步，但在这里，如果您看到有解决方案，它们可能无法满足约束。

我没有看到快速（多项式解决方案），所以我将如何解决它。你有

我会在 middle approach 中使用 meet 并将带有约束的方程分成两部分：

第 1 部分是，

第 2 部分是

我会将它们分开，以便在两个部分中执行的计算数量大致相同（考虑到约束）。

现在您遍历第一部分并将所有内容存储在字典中。然后遍历第二个并检查答案是否存在于字典中。如果是，您找到了解决方案。

这会将指数除以 2，但需要内存。

这个math answer 可能会帮助某人想出一个我找不到的更好的方法。

【讨论】：

您给出的数学答案包含一个非常有用的见解，它允许O(1) 在某些情况下确定无解。因为它必须是GCD(list of coefficients) divides k 并且条款正在增加。这意味着k 必须小于或等于第一项（它是最小的）才能完全存在。这意味着无论4*a + ... = 84 的 OP 示例的附加条款如何，都不会存在任何解决方案。在这里，GCD 必须在1 and 4 (inclusive) 之间，但这太低了，不能被84 整除。
@Nuclearman a,b,c... 可以为零，因此附加条款可能会成为解决方案。例如，4*0 + 5*0 + ... + 84*1 = 84
我无法理解如何在此处应用 GCD。例如，如果方程为3a + 8b = 10，则 3 和 8 的 GCD 将为 1，除以 10，这意味着当没有解时有解。我做错了吗？
@AtteJuvonen：你混淆了分界线的定义。在你的例子中，GCD(3,8) / 10 = 0.1，0.1 不是整数，所以 1 不能除以 10。我承认虽然有零选项，但我所说的实际上只意味着你可以快速消除（将系数设置为 0，然后离开它在那里）任何低于目标的术语。因此，在您的示例中，您甚至需要在 84x = 84 开始测试系数。此外，如果您只考虑3 / 10 = 0.3 and 8/10 = 0.8，两者都不是整数。所以在这种情况下可以忽略它们。