具有不确定迭代次数的 while 循环的 Big-O

Question

对于迭代次数不确定的 while 循环，我似乎无法合理化 Big-O 表示法。

在我的个人项目代码中，我有一个包含所有 0 的列表。然后我实现了一个 while 循环，它将生成一个介于 0 和 9 之间的随机整数。如果随机数索引处的列表中的值为 0，则将该值写入 1 并退出 while 循环。否则，再次生成一个随机数并重复该过程。

不过，我不完全确定这样做的时间复杂度是多少。例如，如果在算法的 9 次迭代之后，列表中除索引 9 之外的每个值都是 1，并且如果随机数生成器恰好在 99 次迭代中没有生成数字 9，那么它将在 99 次之后退出+ 9 次迭代。最坏的情况不会是 O(infinity) 吗？我不认为这是可能的，但我想我会问，因为我不确定。

我的教科书和在线资源似乎没有提供关于此类示例的太多见解。我确信最好的情况是 O(1)，但我有点不确定平均情况和最坏情况。

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我发现了一个具有相同前提的类似问题。这是伪代码，其中 n 是任意大小的整数：

sample_found = false
while(!sample_found) {
    if (rand(0,n) == 0) {
        sample_found = true
    }
}

在最坏的情况下，这将无限运行，对吗？我也不确定平均情况。

Answer 1

听起来您正在使用IID Bernoulli trials 来控制循环，并有可能继续使用p=0.1。假设是这种情况，您可以使用Geometric distribution。

这个分布的平均值只是1/p，所以是10，我会使用quantiles 来进一步了解需要多少次抽奖才能完成。例如：

• 10% 的时间您希望立即完成
• 50% 的运行需要循环 6 次或更少
• 90% 的运行完成 21 个循环
• 99% 的运行完成 43 个循环

在 R 中计算，使用 qgeom(c(0.1, 0.5, 0.9, 0.99), 0.1)。

最坏的情况显然是无穷大，但实际上你不太可能循环 200 次。 1-pgeom(200, 0.1) 给出 6e-10，因此您可以预期循环迭代超过 10 亿次，然后才需要等待这么多次迭代。