能不能用m个开关把所有的灯泡都转一下

Question

给定n 灯泡，最初，所有灯泡都关闭，m 开关，每个开关控制一系列灯泡l 到r（包括两者）

我们需要确定是否可以使用任何m 开关随时打开所有灯泡。

如果可以，答案可以是肯定的，如果不能，答案可以是否定的。

例如，首先给出n 然后m 然后接下来的m 行给出了开关控制的范围。在下面的例子中n = 5 和m = 2。

5 2
1 2
3 5

这里的答案是肯定的，因为 2 个开关可以控制所有的灯泡。并且可以开启。

第二个例子

5 2
1 2
3 4

这里的答案是否定的，因为其中一个灯泡不受任何开关控制。

我所做的是声明一个大小为 m 的数组计数，并且对于每个开关，如果计数的总和等于 n，则我计算了它控制的灯泡数量 (r-l +1) 然后是，否则否。

但只有示例测试用例通过，其余全部失败。

注意：范围可能相交

如果范围相交，例如

1 3 
3 5

答案是否定的，因为当一转时，第三个灯泡上的第二个开关会从打开变为关闭

所以答案是否定的。

Answer 1

我们可以将此问题视为XOR-SAT 问题的一个实例，尽管它比这里提出的问题更普遍，但这是一种方法。

为了获得一些直觉，我提供了一个非常简单的示例。假设您有这样的三个开关和三个灯泡的系统：

S    B
1    1, 3    // toggles bulbs 1 and 3
2    1, 2
3    1, 2, 3

等价于有如下公式，我们要满足：

(x₁^x₂^x₃)&(x₁^x ₂)&(x₁^x₃).

现在我们要满足这个公式。我们首先将其写为模2的布尔方程组：

 |1 1 1|   |x_1|   |1|
 |0 1 1| * |x_2| = |1| mod 2
 |1 0 1|   |x_3|   |1|

现在用Gaussian elimination解决它。

首先，将第一行和第二行添加到第三行：

1 1 1   1      1 1 1   1
0 1 1   1   -> 0 1 1   1
1 0 1   1      0 0 1   1   // for RHS, 1+1+1 = 1 mod 2

二、反替换：x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 1，这显然是答案.

所以，这里主要的复杂性是编程高斯消元过程。