Java 时间复杂度 O(n^2/3)答案

【问题标题】：Java Time Complexity O(n^2/3)Java 时间复杂度 O(n^2/3)
【发布时间】：2012-10-14 05:50:10
【问题描述】：

我的数学背景不太好，这是我尝试编写运行时与不同输入比例的JAVA代码。

使用 n^2/3。因为 n^2/3 = 立方根 n * 立方根 n，所以我可以写

public void test(int n){
    for (int i = 0; i*i*i < n; i++) {
        for (int j = 0; j*j*j < n; j++) {
            count ++;
        }
    }
}

4^n。可以用斐波那契法吗？

public int fibonnaci(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    } else {
        return fibonnaci(n - 2) + fibonnaci(n - 1);
    }
}

请问我上面的代码是否正确？非常感谢！

【问题讨论】：

2) 斐波那契 - 它更多是 O(2^n) iso O(n^4)。使用 4 个嵌套的 for 循环（从 1 运行到 n 递增 1）作为 O(n^4) 的示例；-) 和 1) 是一个聪明的示例 :)

标签： java algorithm big-o time-complexity

【解决方案1】：

第一个是正确的，而且考虑得很周到。

第二个不是。计算 fibs 的算法具有比 O(n^4) 高得多的时间复杂度（编辑：这是我写这个答案时被问到的——同时问题已经更新)。它甚至不是多项式。推理如下（记法#fib(x)：调用fib计算fib(x)的次数）：

fib(1): #fib(1) = 1（直接返回结果）
fib(2): #fib(2) = 3（一个用于 fib(2)，它为 fib(0) 和 fib(1) 调用它）
fib(3)：#fib(3) = 5（一个用于 fib(3)，它为 fib(2) 和 fib(1) 调用它，再调用 3 + 1 个）
fib(4): #fib(4) = 9
fib(5): #fib(5) = 15
fib(6): #fib(6) = 25
...
fib(i)：#fib(i) = 1 + #fib(i-1) + #fib(i-2)

所以，你有：

#fib(i) ~= #fib(i-1) + #fib(i-2)

据此，可以合理地猜测计算 fib(i) 需要“大约”（实际上，略少于）2 倍于计算 fib(i-1) 的时间。因此，您可以“猜测” O(#fib(i)) = O(2^i)。这是正确的答案，您可以通过归纳轻松证明。

结束关于斐波那契数列的内容，还有更快的算法来计算第 n 个数。例如，具有线性时间（即 O(n)）的算法是要记住您编写的那个函数（即，让它参考 Map 以检查它是否知道 n 的结果，所以立即返回它，否则，计算它，存储它并返回它）。还有一个 closed formula to calculate the n-th fib，因此是一个恒定时间算法（即 O(1)）。

最后，O(n^4) 算法的一个例子是任何具有 4 个内部循环的算法，每个循环运行“大约”n 次。

例如，计算n边的n个立方体的体积（以非最优方式）：

int volume = 0;
for (int cube = 0; cube < n; cube++)
  for (int x = 0; x < n; x++)
    for (int y = 0; y < n; y++)
      for (int z = 0; z < n; z++)
        volume++;
return volume;

【讨论】：

@LouisWasserman，非常有名。然而，当我回答这个问题时，被问到关于 n^4 的问题，OP 在我写完这个之后改变了它。很抱歉给您带来不便。

【解决方案2】：

您是否只是在编写任何需要大 O 界限的时间复杂度的代码？

比#1，是的，它需要O(n^(2/3))。

但对于 #2，您的代码将采用 O(2^n) 和 theta(1.6...^n)，而 1.6.. 是著名的黄金比例数。

参考：Computational complexity of Fibonacci Sequence

【讨论】：

【解决方案3】：

这不是一个真正的答案，但这里是一个“作弊”解决方案的草图，提供一个需要O(F(N))时间的程序示例；

创建一个 Java 函数对象来评估给定 F(N) 的 N：
将其作为参数传递给以下方法：

   public void computeOrderFN(int n, FunctionInt2Int fn) {
      int count = fn.evaluate(n);
      for (int i = 1; i < count; i++) {
          // Do something O(1) that the compiler can't optimize away)
      }
   }

但是，如果存在失去“聪明**”的风险，请不要使用它:-)

【讨论】：