转换给定的 NFA

Question

问题）Σ={a,b}，NFA如下图所示：

1. 使用 NFA 到 DFA 过程，将给定的 NFA 转换为 DFA。
2. 使用 reduce 过程，最小化 DFA 中的状态
   

我为 nfa 和 dfa 做了一个转换表，但不知道 q2 应该去哪里，要么是 q0，要么是创建一个新的状态，称为 q4

Answer 1

通过将 NFA 状态的子集视为相应 DFA 的潜在状态，我们可以使用子集或幂集构造从 NFA 到 DFA。我们的 DFA 的初始状态将是 {q0}，这意味着在读取任何输入之前只能达到 q0。从 {q0} 读取 a 后，我们可以通过消耗 a 到达 q2，然后通过 lambda-transition 再次到达 q0。因此，f({q0}, a) = {q0, q2}。在 {q0} 中读取 b 后，我们只能转到 q1；所以 f({q0}, b) = {q1}。

我们在需要转换的 DFA 中引入了两个新状态，{q0, q2} 和 {q1}。稍加思考就会发现 {q0, q2} 具有与 {q0} 完全相同的转换。在输入 a 时，q1 可以转到 q1、q2 或 q0（通过 q2）；在输入 b 上，它可以转到 q2 或 q0（通过 q2）。因此，f({q1}, a) = {q0, q1, q2} 和 f({q1}, b) = {q0, q2}。

我们已经看到 {q0, q2} 并且知道它的转换。但是，我们现在需要 {q0, q1, q2} 的转换。似乎在输入 a 上，NFA 的所有状态都可以从某个状态到达；输入 b 也是如此。所以，f({q0, q1, q2}, a) = {q0, q1, q2} 和 f({q0, q1, q2}, b) = {q0, q1, q2}。

我们没有在此迭代中引入任何新状态，因此我们拥有 DFA 中可能需要的所有状态。我们的 DFA 如下所示：

q            s    q'
{q0}         a    {q0, q2}
{q0}         b    {q1}
{q0, q2}     a    {q0, q2}
{q0, q2}     b    {q1}
{q1}         a    {q0, q1, q2}
{q1}         b    {q0, q2}
{q0, q1, q2} a    {q0, q1, q2}
{q0, q1, q2} b    {q0, q1, q2}

除了 {q1} 之外的所有状态都在接受，因为它们都包含来自 NFA 的接受状态 q0。现在，在我们最小化这个 DFA 之前，让我们重命名状态：

qA = {q0}
qB = {q0, q2}
qC = {q1}
qD = {q0, q1, q2}

我们可以迭代地划掉不能组合的状态对，如下所示：

   qA,qB    qA,qC    qA,qD    qB,qC    qB,qD    qC,qD
   --------------------------------------------------
1.          xxxxx             xxxxx             xxxxx
Reason: qC cannot be combined with others since it is
        not accepting and the others are

2.                   xxxxx             xxxxxx
Reason: f((qA, qD), b) and f((qB, qD), b) equal (qC, qD)
        which was crossed off during the last iteration.

qA,qB cannot be crossed off, so these states can be
combined in a minimal DFA.

得到的最小 DFA 为：

q            s    q'
qAB          a    qAB
qAB          b    qC
qC           a    qD
qC           b    qAB
qD           a    qD
qD           b    qD