我正在尝试在两个 DFA 之间进行叉积，但它们都是不完整的 DFA。
下图是我对两个不完整 DFA 之间的叉积的交集得出的答案。字母表是 {a,b,c,d,e}。
这是正确的还是它们不完整的事实改变了一切？
【问题讨论】：
标签： dfa cross-product
如果您正在构建叉积以找到并集，那么它们不完整的事实确实会使您的工作有所不同；但是，对于交叉点，您仍然可以使用这种基本方法。但是，你犯了一些错误：
让我们从左上角开始，看看状态A1之外的所有转换：
首先，您有一个标记为c 的状态转换，从状态A1 到状态A2。但是，这是不正确的，因为在标有 c 的顶部 DFA 中没有从 A 到 A 的转换。然后，你有一个标记为a 的转换，它从状态A1 到它自己。这也是不正确的，因为没有从状态1 到任何标记为a 的转换。同样，没有从标记为 b 的状态 1 转换出来，因此也使您从 A1 到 B1 的转换无效。
当使用不完整的 DFA 并生成这样的叉积时，只有状态 (p,q) 和状态 p 和状态 q 都有出边的字母时，您将只有状态 (p,q) 的出边。
因此，没有从开始状态转移。此时，我们可以停止工作，因为没有从起始状态转换，没有意义 - 生成的 DFA 不匹配。
解决此问题的另一种可能性是首先通过添加非接受状态（我将此状态称为∅）使两个 DFA 都完成。对于每个没有不同输出边缘的字母，该状态应该有一个从每个状态到它的边缘。例如，在第一个 DFA 中，对于 c、d 和 e，将有一条从 A 到 ∅ 的边。此外，每个字母都应该有从∅ 到∅ 的边。现在两个 DFA 都已完成。
当您执行此操作时，您最终会在A1 之外找到边缘：A∅ 用于a，B∅ 用于b，∅1 用于c，∅∅ 用于d 和 e。剩下的留作练习，但如果你把它完全抽出来，你会再次发现从A1 到任何接受状态都没有路径。
实际上，如果您正在构建叉积以找到联合，则首先完成两个 DFA 是您需要做的 - 有了交集，就可以简单地丢弃任何一个 DFA 中涉及 ∅ 的状态，因为达到∅ 意味着您永远不会达到接受状态，但是对于联合，您需要保留它们，因为涉及 ∅ 的某些状态可能正在接受叉积的状态。 （您仍然可以丢弃状态 ∅∅ 和任何优势）
【讨论】：