是否可以计算两个不完全指定的 DFA 的交集？

Question

如果必须计算交集的两个 DFA 未完全指定，则可能会到达仅包含两个 DFA 的一个状态的状态。在继续计算交叉点之前是否需要正确或额外的步骤？

Answer 1

如果 DFA 在某些状态下缺少转换，您始终可以通过添加不接受且仅转换到的新状态 q_dead 将其转换为“完整”DFA本身，然后为每个丢失的转换添加转换到 q_dead 中。因此，从这个意义上说，如果您没有指定完整的 DFA，则始终可以将 DFA 转换为“完整的”DFA，然后照常运行叉积构造。

如果您专门为两个输入 DFA 的交集构建 DFA，则不需要这样做，因为以这种方式生成的所有状态都将彼此等价（它们都无法达到原始机器中的接受状态）。有几种形成交叉点的方法，根据您采取的方法，您可以进行从小到大的任何调整：

• 一种算法简单地计算来自两个输入 DFA 的所有可能的状态对，然后通过查看状态对转换到的位置来填充转换。如果您使用这种方法，您可以让输入 DFA 中缺少转换的每个状态在叉积中没有转换，模拟“其中一个自动机会死在这里”。
• 另一种算法使用 DFS 或 BFS 仅在叉积中构造 可达 状态。在这种情况下，无需修改 - 如果您发现一对状态缺少转换，则不要添加任何后续状态。

另一方面，如果你在做类似联合构造的事情，你只需要接受两个状态中的一个，这些方法就行不通，因为你需要能够模拟“一个机器人死了，另一个还在快乐地奔跑。”为此，添加显式死亡状态是一种简单而有效的方法。