Functor 实例是唯一的吗？

Question

我想知道 Haskell 中的 Functor 实例在多大程度上（唯一地）由函子定律确定。

由于ghc 至少可以为“普通”数据类型派生Functor 实例，因此它们似乎至少在各种情况下必须是唯一的。

为方便起见，Functor 定义和函子定律是：

class Functor f where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

fmap id = id
fmap (g . h) = (fmap g) . (fmap h)

问题：

• 可以从map 是Functor 实例data List a = Nil | Cons a (List a) 的假设出发推导出map 的定义吗？如果是这样，必须做出哪些假设才能做到这一点？

• 是否有任何 Haskell 数据类型具有多个满足函子定律的 Functor 实例？

• ghc 何时可以派生 functor 实例，何时不能派生？

• 这一切都取决于我们如何定义平等吗？ Functor 法则以值相等的形式表达，但我们不要求 Functors 具有 Eq 实例。那么这里有什么选择吗？

关于相等，当然有我称之为“构造函数相等”的概念，它允许我们推断[a,a,a] 对于任何类型的a 的任何值都与[a,a,a]“相等”，即使@987654339 @ 没有为它定义 (==)。所有其他（有用的）平等概念可能比这种等价关系更粗糙。但我怀疑Functor 法律中的平等更像是一种“推理平等”关系，并且可以是特定于应用程序的。对此有什么想法吗？

Answer 1

请参阅 Brent Yorgey 的 Typeclassopedia：

与我们将遇到的其他类型类不同，给定类型最多有一个有效的 Functor 实例。这can be proven 通过free theorem 用于fmap 的类型。事实上，GHC can automatically derive Functor 实例适用于许多数据类型。

Answer 2

“GHC 什么时候可以派生函子实例，什么时候不能派生？”

当我们有故意的循环数据结构时。类型系统不允许我们表达我们强制循环的意图。 所以，ghc 可以派生一个实例，相似我们想要的，但不一样。

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循环数据结构 可能是唯一应该以不同方式实现 Functor 的情况。 但话又说回来，它具有相同的语义。

data HalfEdge a = HalfEdge { label :: a , companion :: HalfEdge a }

instance Functor HalfEdge where
    fmap f (HalfEdge a (HalfEdge b _)) = fix $ HalfEdge (f a) . HalfEdge (f b)

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编辑：

HalfEdges 是表示图形中无向边的结构（在计算机图形学中称为 3d 网格...），您可以在其中引用任一端。通常它们会存储更多对相邻 HalfEdges、Nodes 和 Faces 的引用。

newEdge :: a -> a -> HalfEdge a
newEdge a b = fix $ HalfEdge a . HalfEdge b

从语义上讲，没有fix $ HalfEdge 0 . HalfEdge 1 . HalfEdge 2，因为边总是由正好两个半边组成。

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编辑 2：

在 haskell 社区中，“Tying the Knot” 的引语以这种数据结构而闻名。它是关于语义上无限的数据结构，因为它们循环。它们只消耗有限的内存。示例：给定ones = 1:ones，我们将拥有twos 的这些语义等价实现：

twos = fmap (+1) ones
twos = fix ((+1)(head ones) :)

如果我们遍历 twos 的（前 n 个元素）并且仍然引用该列表的开头，则这些实现在速度（每次计算 1+1 与仅计算一次）和内存消耗（O(n ) 与 O(1))。