理解 Haskell 的 Bool 推导 Ord答案

【问题标题】：Understanding Haskell's Bool Deriving an Ord理解 Haskell 的 Bool 推导 Ord
【发布时间】：2014-05-27 03:29:11
【问题描述】：

Learn You a Haskell 表示Bool 类型：

data Bool = False | True deriving (Ord)

我不明白比较Bool的原因。

> False `compare` True
LT
> True `compare` False
GT

如果Bool 不是从Ord 派生的，会丢失什么？

【问题讨论】：

好吧，你不能有 Map 的布尔值。没有Ord 实例有什么好处？另外，请注意，如果没有预先存在的 instance Ord Bool，您不能轻易地为包含 Bool 的任何类型派生 Ord。
指标函数怎么样？来自枚举。 (elem [1,2,3]) 如果应用于集合的元素，则为 1，否则为 0？
我觉得应该叫“派生Ord实例”而不是“派生自Ord”。
感谢@chaosmasttter。我刚刚更新了您的更正。

标签： haskell boolean

【解决方案1】：

Bool 形成一个bounded lattice*，其中False 是底部，True 是顶部。这个有界格定义了一个（总）排序，其中False 确实严格小于True。（它们也是这个格子的唯一元素。）

布尔运算and 和or 在此格中也可以分别视为meet 和join。 Meet 找到最大的下界，而 join 找到最小的上界。这意味着a && False = False 与说bottom 的下限和其他任何东西都是bottom 相同，a || True = True 与说top 的上限和任何东西都是top 相同。所以使用布尔值的排序属性的 meet 和 join 等价于你所熟悉的布尔运算。

您可以使用 min 和 max 在 Haskell 中显示此内容：

False `min` True = False -- this is the greatest lower bound
False  &&   True = False -- so is this

False `max` True = True  -- this is the least upper bound
False  ||   True = True  -- so is this

这表明您可以从派生的Ord 实例中定义&& 和|| 只是：

(&&) = min
(||) = max

请注意，在存在a different kind of bottom 的情况下，这些定义不等效，因为(&&) 和(||) 是短路的（当第一个参数分别为False 或True 时，第二个参数是非严格的) 而min 和max 不是。

另外，一个小的修正：deriving 子句没有说Bool“派生自”Ord。它指示 GHC 派生一个类型类 Ord 的实例for 类型 Bool。

* 更具体地说，一个互补分布格。更具体地说，boolean algebra。

【讨论】：

(&&) = min; (||) = max 与典型定义之间存在差异：它们具有不同的严格属性，因此，例如，它们对底部的行为不同（undefined 等意义上的“底部”） . (&&) 和 (||) 短路。
好点。如果您认为有帮助，我可以添加通常的“从上到下”的警告。
你能告诉我meet和join的意义吗？我把你关于它们的段落读了两遍，但我不明白。具体来说，Bool 的least upper bound & greatest lower bound 是什么意思？
@DavidYoung：为什么它们应该有所不同？ min 和 max 是根据 compare 或比较运算符定义的，没有理由为什么它们的严格性必须不同于 (&&) 和 (||)
@newacct (&&) 和 (||) 是根据短路模式匹配定义的。要让compare 给出结果（至少在Bool 上），它必须评估两个参数，因为它们有可能相等。考虑True || undefined和True `max` undefined之间的区别

【解决方案2】：

当您需要比较内部某处包含Bool 的值时，Bool 的Ord 实例变得更加重要。例如，如果没有它，我们将无法编写如下表达式：

[False,True] `compare` [False,True,False]

(3, False) < (3, True)

data Person = Person { name :: String, member :: Bool } deriving (Eq, Ord)

等等

【讨论】：

【解决方案3】：

这是因为 Haskell 的设计者犯了一个错误！我从未见过提到布尔排序的数学教科书。只是因为他们可以，这并不意味着应该。我们中的一些人使用 Haskell 正是因为它在许多情况下不允许/保护我们免受混淆/荒谬的事情的影响，但不是这个。

instance Ord Bool 导致 a => b 的含义与您期望 a <= b 的含义相同！

支持instance Ord Bool 的早期论点可以使更多类型隐含地进行比较。继续这一论点，有些人可能希望使每种类型都具有隐含的可比性，甚至具有弱动态类型并完全省略类型类。但我们希望强类型完全禁止明显不正确的内容，而instance Ord Bool 违背了这一目的。

关于 Bool 是有界格的说法。与 boolean:={True,False} 不同，我们在 Haskell 中拥有的是 Bool:={True,False,bottom} 不再是有界格，因为 True 和 False 都不是底部存在的单位元素。这与那些讨论 && vs min 等的 cmets 有关。

【讨论】：

我不同意你的论点。许多 monad 实例在存在底部时也是不正确的，但我们仍然使用它们。
在 Haskell 中，对事物进行“自上而下”的推理是很常见的，对此我提出了警告。我们可以这样做是因为它在Fast and Loose Reasoning is Morally Correct (PDF) 中探讨的意义上是“道德上正确的”：如果两个术语在整体语言中具有等效语义，那么它们在部分语言中具有相关语义，所以我们仍然可以有效地推理 Haskell 中的语义，尽管它是偏颇的。