Agda 的 Haskell 推导机制

Question

我想知道 Agda 中是否有任何类似于 Haskell 的 deriving Eq 子句的东西 --- 然后我在下面也有一个相关的问题。

例如，假设我有一种玩具语言的类型，

data Type : Set where
  Nat  : Type
  Prp : Type

然后我可以通过模式匹配和C-c C-a来实现可判定相等，

_≟ₜ_ : Decidable {A = Type} _≡_
Nat ≟ₜ Nat = yes refl
Nat ≟ₜ Prp = no (λ ())
Prp ≟ₜ Nat = no (λ ())
Prp ≟ₜ Prp = yes refl

我很好奇这是否可以机械化或自动化，类似于在 Haskell 中完成的方式：

data Type = Nat | Prp deriving Eq

谢谢！

当我们讨论类型时，我想将我的形式类型实现为 Agda 类型：Nat 只是自然数，而 Prp 是小命题。

⟦_⟧Type : Type → Set ?
⟦ Nat ⟧Type = ℕ
⟦ Prp ⟧Type = Set

很遗憾，这不起作用。我试图通过提升来解决这个问题，但失败了，因为我不知道如何使用水平提升。任何帮助表示赞赏！

上述函数的一个示例用法是，

record InterpretedFunctionSymbol : Set where
  field
   arity   : ℕ
   src tgt : Type
   reify   : Vec ⟦ src ⟧Type arity → ⟦ tgt ⟧Type

谢谢你逗我开心！

Answer 1

A Cosmology of Datatypes 的“7.3.2. 对数据类型派生操作”一章展示了如何使用描述派生操作。不过，派生的Eq 在那里相当弱。

基本思想是使用一些一阶编码来表示数据类型，即根据一些通用数据类型，并定义对这种数据类型的操作，因此根据它编码的所有内容都可以由这些通用操作处理。我详细阐述了这个机器的简单版本here。

如果你有一个封闭的宇宙，你可以推导出一个更强的Eq。使用类似于描述的方法（应该同样具有表现力，但我没有检查）和一个封闭的宇宙，我定义了通用showhere，它允许例如在命名构造函数后打印元组向量：

instance
  named-vec : {A : Type} -> Named (vec-cs A)
  named-vec = record { names = "nil" ∷ "cons" ∷ [] }

test₂ : show (Vec (nat & nat) 3 ∋ (7 , 8) ∷ᵥ (9 , 10) ∷ᵥ (11 , 12) ∷ᵥ []ᵥ)
      ≡ "(cons 2 (7 , 8) (cons 1 (9 , 10) (cons 0 (11 , 12) nil)))"
test₂ = prefl

其中Vec 的定义类似于Desc 数据类型。 Eq 的情况应该类似，但更复杂。

Lift 的用法如下：

⟦_⟧Type : Type → Set₁
⟦ Nat ⟧Type = Lift ℕ
⟦ Prp ⟧Type = Set

ex₁ : ∀ A -> ⟦ A ⟧Type
ex₁ Nat = lift 0
ex₁ Prp = ℕ

ex₂ : ∀ A -> ⟦ A ⟧Type -> Maybe ℕ
ex₂ Nat n = just (lower n) -- or (ex₂ Nat (lift n) = just n)
ex₂ Prp t = nothing

如果A : Set α 则Lift A : Set (α ⊔ ℓ) 对应任何ℓ。所以当你有ℕ : Set和Set : Set₁时，你想把ℕ从Set提升到Set₁，这只是Lift ℕ——在简单的情况下你不需要明确地提供ℓ。

要构造包含在Lift 中的数据类型的元素，请使用lift（如lift 0）。为了取回这个元素，你可以使用lower，所以lift 和lower 是互逆的。请注意，尽管lift (lower x) 不一定与x 在同一个宇宙中，因为lift (lower x)“刷新”ℓ。

更新：show 链接现在已损坏（我应该使用永久链接）。但现在有一个更好的例子：an entire library 派生出 Eq 用于常规 Agda 数据类型。

Answer 2

对于 Agda 中“导出 Eq”的实际实现，您可以在 https://github.com/UlfNorell/agda-prelude 上查看 Ulf 的 agda-prelude。特别是，模块 Tactic.Deriving.Eq 包含用于为非常通用的（简单和索引）数据类型类自动生成可判定相等性的代码。