找到使共享顶点颜色的边的权重总和最小化的图形着色答案

【问题标题】：Find graph colouring that minimises sum of weights of edges that share vertex colours找到使共享顶点颜色的边的权重总和最小化的图形着色
【发布时间】：2022-01-27 08:44:23
【问题描述】：

假设我们有一个带有 n 个顶点的加权完全图。我们想为每个顶点着色 k 种颜色。任何着色的成本是连接相同颜色顶点的所有边的权重之和。

对于我的用例，n 将在 20-50 左右。对于 k = 2, 3 蛮力工作正常，但理想情况下我想要任何 k 的解决方案。我正在处理的图也具有合理的稀疏性，但同样，我希望解决一般情况。

【问题讨论】：

这个问题包含图着色作为一个特例（如果图是 k 可着色的，你可以获得零权重），所以它是 NP-hard 并且可能与图着色具有相同的近似难度。
图不能稀疏且完整。
@ErwinKalvelagen 权重可以是稀疏的（即主要为零）。这就是我所指的。
您能否在问题中澄清一下：您需要最好的颜色，还是足够好？最佳不一定是唯一的，尤其是对于稀疏权重，所以你想要一个还是全部？
我们可以假设权重是非负的吗？

标签： algorithm optimization graph-theory

【解决方案1】：

第一个开始可能是把它扔给 MIQP（混合整数二次规划）求解器。它可以线性化为 MIP（这就是像 Cplex 这样的求解器自动执行的操作）。

min sum( (arcs(i,j),c), w(i,j)*x(i,c)*x(j,c))   (sum over all arcs i<j and colors c)
subject to  sum(c, x(i,c)) = 1 for all nodes i
            x(i,c) in {0,1}

有 50 个节点，权重 25% 密集，k=5，我花了几秒钟来解决已证明的最优性（但可能更多取决于数据；许多零权重使问题更容易）。 k=3 稍微困难一些，运行时间在 30 到 60 秒之间，具体取决于具体公式。

线性化的数学公式可以在here找到。

【讨论】：