我正在尝试创建一个井字游戏程序作为一种心理锻炼，并且我将棋盘状态存储为布尔值，如下所示：
http://i.imgur.com/xBiuoAO.png
我想简化这个布尔表达式...
(a&b&c) | (d&e&f) | (g&h&i) | (a&d&g) | (b&e&h) | (c&f&i) | (a&e&i) | (g&e&c)
我的第一个想法是使用Karnaugh Map，但网上没有支持 9 个变量的求解器。
问题来了：
首先，我如何知道布尔条件是否已经尽可能简单？
第二个：上面的布尔条件是什么简化的？
【问题讨论】：
原来的表达方式
a&b&c|d&e&f|g&h&i|a&d&g|b&e&h|c&f&i|a&e&i|g&e&c
可以简化为以下，知道 & 比 | 更优先
e&(d&f|b&h|a&i|g&c)|a&(b&c|d&g)|i&(g&h|c&f)
短 4 个字符，在最坏的情况下执行 18 次 & 和 | 评估（原始计算为 23）
没有更短的布尔公式（见下文）。如果你switch to matrices，也许你可以找到另一个解决方案。
通常，很难找到最小的公式。如果您更感兴趣，请参阅this recent paper。但在我们的例子中，有一个简单的证明。
我们将推断一个公式是 最小 就公式大小而言，其中变量 a、size(a)=1、布尔运算 size(A&B) = size(A|B) = size(A) + 1 + size(B) 和否定 @ 987654334@（因此我们可以假设我们免费拥有Negation Normal Form）。
对于这个大小，我们的公式大小为 37。
你不能做得更好的证据在于首先说明有 8 行要检查，并且总是有一对字母区分 2 个不同的行。由于我们可以将这 8 个检查与剩余的变量组合不少于 3 个，因此最终公式中的变量数至少应为8*2+3 = 19，由此我们可以推断出最小的树大小。
详细证明
让我们假设给定的公式F 是最小的 并且采用NNF 格式。
F 不能包含否定变量，例如 !a。为此，请注意F 应该是单调的，也就是说，如果它返回“true”（有一个获胜行），则将其中一个变量从false 更改为true不应该改变这个结果。 According to Wikipedia, F 可以不用否定写。更好的是，我们可以证明我们可以删除否定。在this answer之后，我们可以转换DNF格式，删除中间的否定变量或将它们替换为true。
F 不能包含子树，例如两个变量 a|b 的析取。
要使此公式有用且不能与a 或b 交换，这意味着存在相互矛盾的分配，例如
F[a|b] = true 和 F[a] = false，因此 a = false 和 b = true 因为单调性。此外，在这种情况下，将b 转换为false 会使整个公式为false，因为false = F[a] = F[a|false] >= F[a|b](b = false)。
因此有一行经过b，这就是真相的原因，它不能通过a，因此例如e = true和h = true。
并且该行的检查通过表达式a|b 来测试b。但是，这意味着a,e,h 为真而所有其他设置为假，F 仍然为真，这与公式的目的相矛盾。
每个看起来像a&b 的子树都会检查一个唯一的行。所以最后一个字母应该出现在对应的析取词(a&b|...)&{c somewhere for sure here}的正上方，否则这个叶子没有用，可以安全地删除a或b。事实上，假设c 没有出现在上面，并且游戏是a&b&c 是true 而所有其他变量都是false。那么c应该在上面的表达式返回false，所以a&b总是没用的。所以通过删除a&b可以得到一个更短的表达式。
有8个独立的分支，所以至少有8个a&b类型的子树。由于a、f 和h 从不共享相同的行，因此我们不能使用 2 个连词的析取来重新组合它们，因此必须有 3 个外部变量。 8*2+3 使 19 个变量出现在最终公式中。
具有 19 个变量的树不能少于 18 个运算符，因此总大小必须至少为 19+18 = 37。
您可以有上述公式的变体。
QED。
【讨论】：
一种选择是手动绘制卡诺图。由于您有 9 变量，因此形成了一个 2^4 x 2^5 的网格，该网格相当大，而且从等式的外观来看，可能也不是很有趣。
通过检查，卡诺图似乎不会为您提供任何有用的信息（卡诺图基本上将 ((!a)&b) | (a&b) 之类的表达式简化为 b），所以在这种简化的意义上，您的表达式已经是尽可能简单。但是，如果您想减少计算次数，您可以使用 AND 运算符对 OR 的分布来分解一些变量。
【讨论】：
(a&((b&c) | (d&g) | (e&i))) | (c&((f&i) | (g&e))) | (e&((d&f) | (b&h))) | (g&h&i) 不过，我建议不要这样做，因为它的可读性要差得多。我不知道要使用什么语言，但编译器可能已经针对这些情况进行了优化。
思考这个问题的最佳方式是一个人的想法。没有人会对自己说“a and b and c, or if d and e and f”等等。他们会说“任意三个连续，水平、垂直或对角线。”
另外，您可以只进行四次检查（三行和一条对角线），而不是进行八次检查（3 行、3 列和 2 条对角线），然后将棋盘旋转 90 度，然后再次进行相同的检查。
这就是你最终的结果。这些函数都假设棋盘是一个 3×3 的布尔矩阵，其中 true 代表中奖符号，false 代表未中奖符号。
def win?(board)
winning_row_or_diagonal?(board) ||
winning_row_or_diagonal?(rotate_90(board))
end
def winning_row_or_diagonal?(board)
winning_row?(board) || winning_diagonal?(board)
end
def winning_row?(board)
3.times.any? do |row_number|
three_in_a_row?(board, row_number, 0, 1, 0)
end
end
def winning_diagonal?(board)
three_in_a_row?(board, 0, 0, 1, 1)
end
def three_in_a_row?(board, x, y, delta_x, delta_y)
3.times.all? do |i|
board[x + i * delta_x][y + i * deltay]
end
end
def rotate_90(board)
board.transpose.map(&:reverse)
end
矩阵旋转来自这里：https://stackoverflow.com/a/3571501/238886
虽然这段代码有点冗长，但每个函数的意图都很明确。代码现在表达的是井字游戏规则，而不是长布尔表达式。
【讨论】：
当没有要提取的通用子术语时，您知道这是一个尽可能简单的方法（例如，如果您在两个不同的三重奏中有“a&b”）。
您知道您的井字游戏解决方案必须已经尽可能简单，因为任何一对盒子最多只能属于一条获胜线（只有一条直线可以通过两个给定点），所以 (a & b)不能在您正在检查的任何其他胜利中重复使用。
（此外，“简单”可能意味着很多事情；具体说明您的意思可能会帮助您回答自己的问题。）
【讨论】：