具有较小权重和的较大子集（“逆”加权间隔调度概率。）答案

【问题标题】：Larger subset with smaller weight sum ("inverse" Weighted Interval Scheduling Prob.)具有较小权重和的较大子集（“逆”加权间隔调度概率。）
【发布时间】：2015-08-29 05:14:04
【问题描述】：

我想找到 WIS 问题的变体，其中结果必须是具有最小权重和的较大子集。例如，在：

    Input: Number of Intervals n = 5
            Interval Details: (start-finish, weight)
            Interval 1:  (0-5, 15) 
            Interval 2:  (4-9, 18)
            Interval 3:  (10-15, 12)
            Interval 4:  (8-21, 19)
            Interval 5:  (25-30, 25)

答案必须是子集 {3, 1, 5}，因为这是具有最大元素和最小权重总和 ws = 52 (12 + 15 + 25) 的子集。

这个问题是一个项目的一部分，我为此搜索了很多，但以这种方式找到了任何东西。我不熟悉算法和编程，如果我在这里写一些愚蠢的东西，很抱歉。

你知道如何解决这个问题吗？

【问题讨论】：

我们处理的输入大小是多少？看起来这个问题是 NP 完全的，因为在最坏的情况下，我们需要计算所有可能的最大子集，并选择具有最小权重和的那个。
@Jakob，大约 40 个间隔。一位朋友建议我找到非重叠区间的最大子集的大小 K，然后使用蛮力找到 K 区间的所有组合，并获得具有最小权重和的组合。这可能对我有用，但我不知道如何获取仅包含非重叠间隔的 K 元素的所有子集。你知道一些可以帮助我解决这个问题的算法吗？

标签： algorithm scheduling intervals

【解决方案1】：

蛮力方法：找到所有可能的开始间隔和所有可能的最后间隔，并计算开始和结束间隔之间的所有可能序列。这相当于计算有向无环图（DAG）中节点对之间的所有路径。

计算起始间隔：

查找最短完成时间。
开始时间间隔是所有开始时间

同样，计算结束间隔：

找出最长开始时间。
结束时间间隔是所有结束时间>最大开始时间的时间间隔。

计算这两组之间的所有路径：
在这里，您需要应用一种算法来计算 DAG 中的所有路径。可以在互联网上找到实现。一个例子：

void recursive(Interval current, Interval destination, List<Interval> path)
{
    path.Add(current);

    if (current == destination)
    { 
        if (path.Count > maxLength || (path.Count == maxLength && pathWeight < minWeight))
        {
            minWeightPath = new List<Interval>(path);
        }
        path.Remove(current);
        return;
    }

    //Successors are all intervals with startTime >= current.finishTime
    List<Interval> possibleSuccessors = getAllSuccessors();

    foreach (var item in possibleSuccessors)
    {
        recursive(item, destination, path);
    }

    path.Remove(current);
}

通过以下方式调用此方法：

foreach (var startNode in startingNodes)
{
    List<Interval> path = new List<Interval>();
    foreach (var endNode in endNodes)
    {
        if (startNode.finishTime < endNode.startTime)
            recursive(startNode, endNode, path);
    }
}

【讨论】：

谢谢，帮了我很多忙！