二叉搜索树中缺少数字答案

【问题标题】：Missing number in binary search tree二叉搜索树中缺少数字
【发布时间】：2016-05-16 06:45:07
【问题描述】：

如果我有以 n 不同整数作为键的顺序统计二叉平衡树，并且我想编写函数 find(x) 来返回不在树中的最小整数，并且大于x。在O(log(n)) 时间。

例如，如果树中的键是6,7,8,10,11,13,14，那么find(6)=9、find(8)=9、find(10)=12、find(13)=15。

我想在O(log(n)) 中找到max 和x 的索引（标记i_x）在O(log(n)) 然后如果i_x=n-(m-x) 那么我可以简单地返回max+1。

我的意思是在6,7,8,10,11,13,14 中，索引 6 为 0，例如索引 10 为 3...

但我在其他情况下遇到了麻烦......

【问题讨论】：

像往常一样查找 x。然后从 x 执行深度优先样式搜索，使得每个整数都是前一个整数的增量。如果不是，那么你找到了你的整数。
@Striker 但是对于1,2,3,4,5,6,7,9 和find(1) 来说，应该是O(n)，不是吗？
最坏的情况是 O (n)。
@Striker 和我需要O(log(n))... 我们如何使用它是一个订单统计树这一事实？
@Striker，你的想法是正确的，进一步利用 BST 属性可以在 O(h) 时间，其中 h = 树的高度，在最坏的情况下无论如何都是 O(n)。所以你的评论实际上是答案的线索。在下面找到一个调谐的。

标签： algorithm binary-search-tree

【解决方案1】：

根据wikipedia，订单统计树在log(n)时间内支持这两个操作：

Select(i) — 在 O(log(n)) 中找到存储在树中的第 i 个最小元素
Rank(x) – 找到元素 x 在树中的排名，即它在 O(log(n)) 中的树元素排序列表中的索引

首先获取 x 的排名，然后选择 x 的上级排名，直到找到插入缺失元素的位置。但这有最坏的情况 n*log(n)。

因此，一旦你获得了 x 的等级，你就可以进行一种二分搜索。基本思想是在树中的数字 x 和 y 之间是否有空格。如果rank(x) - rank(y) != x - y有一个空格。

一般情况是：搜索区间[lo,hi]中的数时（lo和hi是树中的rank，mid是中间的rank），如果lo和mid之间有空格则在[ lo,mid]，否则在 [mid, hi] 内搜索。你最终会找到你要找的号码。

但是，此解决方案不是在 log(n) 时间内运行，而是在 log^2(n) 时间内运行。这是我能想到的最佳通用解决方案。

编辑：

嗯，这是一个棘手的问题，我改变了好几次主意。这是我想出的：

我假设左节点的价值较低，而右节点的价值较高

find(x) 的直觉：从根开始，沿着树向下几乎就像在标准二叉树中一样。如果我们要走的分支不包含find(x)的解，那就剪掉吧。

我们将首先介绍基本案例：

如果我找到的节点为空，那么我就完成了，我返回我正在寻找的值。
如果当前值小于我要查找的值，则在右子树中搜索 x
如果找到包含 x 的节点，则在右子树上搜索 x+1。

x 在左子树中的情况更棘手，因为它可能包含 x、x+1、x+2、x+3 等直到 y-1，其中 y 是存储在当前节点中的值.在这种情况下，我们要在右子树中搜索 y+1。

但是，如果从 x 到 y 的所有数字都不在左子树中（即存在间隙），那么我们会在其中找到一个值，因此我们在左子树中查找 x。

问题是：如何查找从x到y的序列是否存在于子树中？

python中的算法是这样的：

def find(node, x):
    if node == null:
        return x
    if node.data < x:
        return find(node.right, x)
    if node.data == x:
        return find(node.right, x+1)
    if is_full(...):
        return find(node.right, node.data+1)
    return find(node.left, x)

要获得严格大于 x 且不在树中的最小值，第一个调用是 find(root, x+1)。如果您想要大于或等于 x 且不在树中的最小值，则第一个调用是 find(root, x)。 is_full 方法检查左子树是否包含从 x 到 node.data-1 的所有数字。

现在，以此为起点，我相信你可以自己找到一个合适的解决方案，利用每个子树中包含的节点数存储在子树的根节点的事实。

【讨论】：

我认为我们应该使用“树的节点需要存储一个附加值，即以该节点为根的子树的大小”这一事实，并使用它来创建函数@ 987654329@...
好点，我忘了这个。那么直觉很简单。遵循经典 BST 中的路径。如果您想跟随左侧链接，则通过检查左侧的子值及其包含的节点数来检查是否缺少 int。如果有空格，则正常点击左侧链接。如果没有，向右走。
从根目录跟随？或来自x？如果来自x，那么我什至可能需要“向上”边缘...
从根目录搜索 x 就像在通常的 BST 中一样
能否详细说明？

【解决方案2】：

我遇到了类似的问题。

查找大于某些x 没有任何限制，只需在BST 中查找缺失的元素即可。

以下是我的答案，完全有可能在O(lg(n)) 时间这样做，假设树几乎是平衡的。您可能需要考虑证明随机构建的BST 的预期高度是lg(n) 给定n 元素。我使用了一个更简单的符号，O(h)，其中 h = 树的高度，所以现在两个东西是分开的。

假设和/或要求：

我增强了数据结构。在每个节点存储(left_subtree + right_subtree + 1) 的计数。
显然，单个节点的计数为1
此计数已预先计算并存储在每个节点中

请原谅我的多个符号不等于（=/= 和 !=）

还要注意，如果要在机器上编写工作代码，代码的结构可能会稍微好一点。

此外，我认为，在这个时候，这是正确的。我尝试了尽可能多的极端案例，并且总的来说它有效。即使有反例，我也不认为修改代码以适应特定情况会很困难；但请评论反例，我很感兴趣。

【讨论】：