如何设置curve_fit的初始值以找到最佳优化，而不仅仅是局部优化？

Question

我正在尝试拟合幂律函数，以找到最佳拟合参数。但是，我发现如果参数的初始猜测不同，“最佳拟合”输出就会不同。除非我找到正确的初始猜测，否则我可以获得最佳优化，而不是局部优化。有没有办法找到**适当的初始猜测** ????。我的代码在下面列出。请随时输入。谢谢！

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

# power law function
def func_powerlaw(x,a,b,c):
    return a*(x**b)+c

test_X = [1.0,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
test_Y =[3.0,1.5,1.2222222222222223,1.125,1.08,1.0555555555555556,1.0408163265306123,1.03125, 1.0246913580246915,1.02]

predict_Y = []
for x in test_X:
    predict_Y.append(2*x**-2+1)

如果我与默认初始猜测一致，即 p0 = [1,1,1]

popt, pcov = curve_fit(func_powerlaw, test_X[1:], test_Y[1:], maxfev=2000)


plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(test_X, func_powerlaw(test_X, *popt),'r',linewidth=4, label='fit: a=%.4f, b=%.4f, c=%.4f' % tuple(popt))
plt.plot(test_X[1:], test_Y[1:], '--bo')
plt.plot(test_X[1:], predict_Y[1:], '-b')
plt.legend()
plt.show()

合身如下，这不是最合适的。

如果我将初始猜测更改为 p0 = [0.5,0.5,0.5]

popt, pcov = curve_fit(func_powerlaw, test_X[1:], test_Y[1:], p0=np.asarray([0.5,0.5,0.5]), maxfev=2000)

我能找到最合适的

----------于 10.7.2018 更新------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------

由于我需要运行数千甚至 数百万 的幂律函数，因此使用 @James Phillips 的方法过于昂贵。那么除了curve_fit还有什么合适的方法呢？比如sklearn、np.linalg.lstsq等。

Answer 1

这是使用 scipy.optimize.differential_evolution 遗传算法的示例代码，以及您的数据和方程。这个 scipy 模块使用拉丁超立方体算法来确保对参数空间的彻底搜索，因此需要搜索范围 - 在这个例子中，这些范围是基于数据的最大值和最小值。对于其他问题，如果您知道预期的参数值范围，您可能需要提供不同的搜索范围。

import numpy, scipy, matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from scipy.optimize import differential_evolution
import warnings

# power law function
def func_power_law(x,a,b,c):
    return a*(x**b)+c

test_X = [1.0,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
test_Y =[3.0,1.5,1.2222222222222223,1.125,1.08,1.0555555555555556,1.0408163265306123,1.03125, 1.0246913580246915,1.02]


# function for genetic algorithm to minimize (sum of squared error)
def sumOfSquaredError(parameterTuple):
    warnings.filterwarnings("ignore") # do not print warnings by genetic algorithm
    val = func_power_law(test_X, *parameterTuple)
    return numpy.sum((test_Y - val) ** 2.0)


def generate_Initial_Parameters():
    # min and max used for bounds
    maxX = max(test_X)
    minX = min(test_X)
    maxY = max(test_Y)
    minY = min(test_Y)
    maxXY = max(maxX, maxY)

    parameterBounds = []
    parameterBounds.append([-maxXY, maxXY]) # seach bounds for a
    parameterBounds.append([-maxXY, maxXY]) # seach bounds for b
    parameterBounds.append([-maxXY, maxXY]) # seach bounds for c

    # "seed" the numpy random number generator for repeatable results
    result = differential_evolution(sumOfSquaredError, parameterBounds, seed=3)
    return result.x

# generate initial parameter values
geneticParameters = generate_Initial_Parameters()

# curve fit the test data
fittedParameters, pcov = curve_fit(func_power_law, test_X, test_Y, geneticParameters)

print('Parameters', fittedParameters)

modelPredictions = func_power_law(test_X, *fittedParameters) 

absError = modelPredictions - test_Y

SE = numpy.square(absError) # squared errors
MSE = numpy.mean(SE) # mean squared errors
RMSE = numpy.sqrt(MSE) # Root Mean Squared Error, RMSE
Rsquared = 1.0 - (numpy.var(absError) / numpy.var(test_Y))
print('RMSE:', RMSE)
print('R-squared:', Rsquared)

print()


##########################################################
# graphics output section
def ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight):
    f = plt.figure(figsize=(graphWidth/100.0, graphHeight/100.0), dpi=100)
    axes = f.add_subplot(111)

    # first the raw data as a scatter plot
    axes.plot(test_X, test_Y,  'D')

    # create data for the fitted equation plot
    xModel = numpy.linspace(min(test_X), max(test_X))
    yModel = func_power_law(xModel, *fittedParameters)

    # now the model as a line plot
    axes.plot(xModel, yModel)

    axes.set_xlabel('X Data') # X axis data label
    axes.set_ylabel('Y Data') # Y axis data label

    plt.show()
    plt.close('all') # clean up after using pyplot

graphWidth = 800
graphHeight = 600
ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight)

Answer 2

除了 Welcome to Stack Overflow 给出的“没有简单、通用的方法”和 James Phillips 的“差异进化经常 如果比curve_fit() 慢一些，有助于找到好的起点（甚至是好的解决方案！），请允许我单独给出一个您可能会觉得有帮助的答案。

首先，curve_fit() 默认为任何参数值这一事实是非常糟糕的主意。这种行为没有任何可能的理由，您和其他所有人都应该将存在参数默认值这一事实视为curve_fit() 的实现中的严重错误，并假装此错误不存在。 绝不相信这些默认设置是合理的。

从一个简单的数据图中，很明显a=1, b=1, c=1 是非常非常糟糕的起始值。函数衰减，所以b < 0。事实上，如果您从 a=1, b=-1, c=1 开始，您就会找到正确的解决方案。

这也可能有助于为参数设置合理的界限。即使设置 (-100, 100) 的 c 的界限也可能有所帮助。与b 的符号一样，我认为您可以从简单的数据图中看到该边界。当我为您的问题尝试此操作时，如果初始值为 b=1，c 的界限将无济于事，但对于 b=0 或 b=-5 则有效。

更重要的是，尽管您在图中打印了最合适的参数popt，但您没有打印pcov 中保存的变量之间的不确定性或相关性，因此您对结果的解释是不完整的。如果您查看了这些值，您会发现以b=1 开头不仅会导致错误的值，还会导致参数的巨大不确定性和非常非常高的相关性。这是适合告诉您它找到了一个糟糕的解决方案。不幸的是，从curve_fit 返回的pcov 并不是很容易解包。

请允许我推荐 lmfit (https://lmfit.github.io/lmfit-py/)（免责声明：我是首席开发人员）。除其他功能外，此模块还强制您提供非默认起始值​​，并更轻松地生成更完整的报告。对于您的问题，即使以 a=1, b=1, c=1 开头也会给出更有意义的指示：

from lmfit import Model
mod = Model(func_powerlaw)
params = mod.make_params(a=1, b=1, c=1)
ret = mod.fit(test_Y[1:], params, x=test_X[1:])
print(ret.fit_report())

会打印出来：

[[Model]]
    Model(func_powerlaw)
[[Fit Statistics]]
    # fitting method   = leastsq
    # function evals   = 1318
    # data points      = 9
    # variables        = 3
    chi-square         = 0.03300395
    reduced chi-square = 0.00550066
    Akaike info crit   = -44.4751740
    Bayesian info crit = -43.8835003
[[Variables]]
    a: -1319.16780 +/- 6892109.87 (522458.92%) (init = 1)
    b:  2.0034e-04 +/- 1.04592341 (522076.12%) (init = 1)
    c:  1320.73359 +/- 6892110.20 (521839.55%) (init = 1)
[[Correlations]] (unreported correlations are < 0.100)
    C(a, c) = -1.000
    C(b, c) = -1.000
    C(a, b) =  1.000

那是a = -1.3e3 +/- 6.8e6 -- 定义不是很好！此外，所有参数都是完全相关的。

将b 的初始值更改为-0.5：

params = mod.make_params(a=1, b=-0.5, c=1) ## Note !
ret = mod.fit(test_Y[1:], params, x=test_X[1:])
print(ret.fit_report())

给了

[[Model]]
    Model(func_powerlaw)
[[Fit Statistics]]
    # fitting method   = leastsq
    # function evals   = 31
    # data points      = 9
    # variables        = 3
    chi-square         = 4.9304e-32
    reduced chi-square = 8.2173e-33
    Akaike info crit   = -662.560782
    Bayesian info crit = -661.969108
[[Variables]]
    a:  2.00000000 +/- 1.5579e-15 (0.00%) (init = 1)
    b: -2.00000000 +/- 1.1989e-15 (0.00%) (init = -0.5)
    c:  1.00000000 +/- 8.2926e-17 (0.00%) (init = 1)
[[Correlations]] (unreported correlations are < 0.100)
    C(a, b) = -0.964
    C(b, c) = -0.880
    C(a, c) =  0.769

哪个更好。

总之，初始值总是很重要，结果不仅是最佳拟合值，还包括不确定性和相关性。

Answer 3

没有简单的答案：如果有，它将在curve_fit 中实现，然后它就不必询问您的起点。一种合理的方法是首先拟合齐次模型y = a*x**b。假设 y 为正（当你使用幂律时通常是这种情况），这可以通过一种粗略而快速的方式完成：在对数尺度上，log(y) = log(a) + b*log(x) 这是线性回归，可以用np.linalg.lstsq 解决.这为log(a) 和b 提供了候选人；使用这种方法的c 的候选者是0。

test_X = np.array([1.0,2,3,4,5,6,7,8,9,10])
test_Y = np.array([3.0,1.5,1.2222222222222223,1.125,1.08,1.0555555555555556,1.0408163265306123,1.03125, 1.0246913580246915,1.02])

rough_fit = np.linalg.lstsq(np.stack((np.ones_like(test_X), np.log(test_X)), axis=1), np.log(test_Y))[0]
p0 = [np.exp(rough_fit[0]), rough_fit[1], 0]

结果是您在第二张图片中看到的非常合适的。

顺便说一句，最好一次性将test_X 变成一个NumPy 数组。否则，您首先对 X[1:] 进行切片，这将得到 NumPy 字段作为 整数 的数组，然后抛出带有负指数的错误。 （我想1.0 的目的是使它成为一个浮点数组？这就是dtype=np.float 参数应该用于的用途。）