查找大型集合中相距最远的球体的高效算法

Question

我收集了 10000 - 100000 个球体，我需要找到相距最远的球体。

一种简单的方法是简单地将所有球体相互比较并存储最大距离，但这感觉就像算法的真正资源消耗。

Spheres 的存储方式如下：

Sphere (float x, float y, float z, float radius);

Sphere::distanceTo(Sphere &s) 方法返回球体两个中心点之间的距离。

例子：

Sphere *spheres;
float biggestDistance;

for (int i = 0; i < nOfSpheres; i++) {
    for (int j = 0; j < nOfSpheres; j++) {
        if (spheres[i].distanceTo(spheres[j]) > biggestDistance) {
            biggestDistance = spheres[i].distanceTo(spheres[j]) > biggestDistance;
        }
    }
}

我正在寻找的是一种算法，它以某种更智能的方式循环所有可能的组合，如果有的话。

该项目是用 C++ 编写的（它必须是），因此仅在 C/C++ 以外的其他语言中工作的任何解决方案都不太受关注。

Answer 1

S 点集合中任意两点之间的最大距离称为 diameter。求一组点的直径是计算几何中的一个众所周知的问题。一般来说，这里有两个步骤：

1. 找到由每个球体中心组成的三维凸包 - 比如说，使用 CGAL 中的 quickhull 实现。

2. 找到船体上相距最远的点。 （船体内部的两个点不能是直径的一部分，否则它们会在船体上，这是矛盾的。）

使用 quickhull，您可以在平均情况下的 O(n log n) 和最坏情况下的 O(n²) 运行时间中完成第一步。 （在实践中，quickhull 明显优于所有其他已知算法。）如果您可以保证球体排序的某些属性，则可以保证更好的最坏情况界限，但这是一个不同的主题。

第二步可以用 Ω(h log h) 来完成，其中h 是船体上的点数。在最坏的情况下，h = n（每个点都在船体上），但如果你有数千个随机球体，这不太可能。一般来说，h 会比n 小很多。这是an overview of this method.

Answer 2

您能否将这些球体存储在BSP Tree 中？如果这是可以接受的，那么您可以从查找包含距离最远的球体的树的节点开始。然后您可以继续沿着树向下，直到到达各个球体。

Answer 3

您的问题看起来可以使用图表来解决。由于球体 A 到球体 B 的距离与球体 B 到球体 A 的距离相同，因此您可以尽量减少必须进行的比较次数。

我认为您在此处看到的内容称为Adjacency List。您可以建立一个，然后遍历它以找到最长的距离。

您可以使用的另一种方法仍然会给您一个 O(n^2)，但您可以最大限度地减少您必须进行的比较次数。您可以将计算结果存储到哈希表中，其中键是边的名称（因此 AB 将保存从 A 到 B 的长度）。在执行距离计算之前，请检查哈希表中是否存在 AB 或 BA。

编辑

使用邻接列表方法（基本上是 Breadth-First Search），您会得到 O(b^d) 或最坏情况 O(|E| + |V|) 的复杂度。

Answer 4

保罗让我的大脑开始思考，你可以通过改变来优化一下

for (int j=0; j < nOfSpheres; j++) 

到

for (int j=i+1;  j < nOfSpheres; j++) 

您无需将球体 A 与 B AND B 与 A 进行比较。这将使搜索 O(n log n)。

--- 加法-------

使该计算变得昂贵的另一件事是 DistanceTo 计算。

distance = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

这是很多数学问题。您可以通过检查是否

来减少它

((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 > maxdist^2

删除 sqrt 直到结束。