分而治之 - 找到数组的中位数

Question

假设我们有一个包含所有唯一元素的大小为 2n 的数组。

假设我们将数组分成大小为 n 的 2 个数组，并且如果 1

那么求中位数的 Θ(log(n)) 算法是什么？中位数定义为 2 个数组之间的第 n 个最低元素。如果数组是 [1 2 3 4 5 6]，中位数通常是 (3+4)/2，但我们只选择较小的一个，即 3。 我的尝试即：

2n = 6  [1 2 3 4 5 6]
n = 3   [1 2 3] [4 5 6] (not necessarily sorted, but we have the constant time lookup, so sorting is irrelevant)
Step 1) use lookup where k = n to find the kth smallest element for each array
[1 2 3] [4 5 6]
     ^       ^ (if k = 3, we get 3 for the first array, 6 for the second array)
Step 2) compare the 2 values we got and choose the smaller one. 3 is the median where median is defined as the nth lowest element between the 2 arrays.

首先，这是 Θ(log(n)) 时间的正确算法吗？其次，证明正确性（它找到中位数）是什么样的？我相信这将是通过归纳。

Answer 1

选择（其中中位数计算是一种特殊情况）无法在 O(log n) 时间内解决。您可以使用 Quickselect 等算法在 O(n) 时间内解决它。