用numpy计算的自相关函数不是正定的？

Question

我正在使用 Numpy 的 FFT 通过首先计算功率谱来计算信号的自相关函数。我相信autocorrelation functions are positive definite。但是，当我test 时，如果我的模拟自相关函数是正定的，它通常会失败。下面是一些示例代码：

import numpy as np

def is_pos_def(x):
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)

n = 5
signal = np.random.random(size=(n,n)) #create a real valued signal
F = np.fft.fftn(signal)               #FFT of real signal is conjugate symmetric
A = np.abs(F)                         #amplitudes/magnitudes
ps = A**2                             #power spectrum is square of magnitudes
acf = np.fft.ifftn(ps)                #autocorrelation function is ifft of the power spectrum
acf = acf.real                        #.real to clean up since the acf is real anyways by definition, and indeed the imaginary terms are zero.

print(is_pos_def(acf))

这会输出False。我错过了什么吗？

Answer 1

关于正定函数

在评论几轮之后，我怀疑您想检查自相关是否为positive definite function

import scipy.linalg;
n = 5; # number of independent signals
m = 10; # number of samples each vector
signal = np.random.random(size=(m)) #create a real valued signal
# auto-correlation function
acf = np.fft.ifft(np.abs(np.fft.fft(signal))**2)
# check function spectrum of the matrix a[i,j] = f(x[i]-x[j])
spectrum = np.linalg.eigvals(scipy.linalg.toeplitz(acf))

自相关函数的正定性由

assert np.allclose(spectrum, spectrum.real) # real
assert np.all(spectrum.real > 0) # positive

原来的答案

首先，信号的自相关是ifft(abs(fft(x)**2)，而不是ifft(fft(x))。 从卷积定理我们知道给定A=fft(A)，B=fft(b)，ifft(A*B) = conv(a,b)。

此自相关将计算信号与其不同延迟版本的相关性。

另一方面，自相关矩阵计算矩阵中每对列之间的相关性。

n = 5; # number of independent signals
m = 10; # number of samples each vector
signal = np.random.random(size=(m,n)) #create a real valued signal
acf = signal.T.conj() @ signal;

那么acf保证是一个对称的半定正矩阵，即所有的特征向量都是实数且非负的（>=0）