找到给定序列的最小次数多项式

Question

给定一个数列，如何找到一个推广该数列的多项式。通过这种概括，人们应该能够找出该系列中的任何术语。

在网上搜索时，我发现可以使用 Langrange 的插值技术。泛化系列的方法有多准确？

我们可以使用其他方法来找到多项式吗？

Answer 1

有几种算法可以生成与有限级数匹配的多项式，因为“justhalf”确定了拉格朗日插值是一种技术。

一般来说，如果给定一个具有 n 个点的函数，您可以唯一地定义一个 n-1 次（或有时更小）的多项式，它在每​​个点上都匹配。

考虑只有两个术语“2, 4”的系列。由于这只有两项（n = 2），因此有一个 1 次多项式将生成该系列。一般形式是y = ax+b，我们需要找到a和b：

y = ax + b

所以

2 = a⋅1 + b     =>     2 =  a + b
4 = a⋅2 + b     =>     4 = 2a + b

因此 a = 2 且 b = 0。

y = 2x

您可以看到，如果将 x=1 和 x=2 替换，则分别得到值 2 和 4。

如果系列是 2、4、8，那么你需要一个 3-1 = 2 次的多项式，比如 y = ax^2 + bx + c（其中 a 和 b 是新值，不一定相同作为前一种情况的 a 和 b)。

那么你就会知道：

2 = a⋅1² + b⋅1 + c     =>     2 =  a +  b + c     (i)
4 = a⋅2² + b⋅2 + c      =>      4 = 4a + 2b + c      (ii)
8 = a⋅3² + b⋅3 + c      =>      8 = 9a + 3b + c      (iii)

你可以解这些方程来找到 a、b 和 c：

从 (ii) 中减去 (i)：

2 = 3a + b      (iv)

从 (iii) 中减去 (ii)

4 = 5a + b      (v)

从 (v) 中减去 (iv)

2 = 2a     =>     a = 1

所以从 (iv)

2 = 3⋅1 + b = 3 + b     =>     b = -1

来自 (i)

2 = a + b + c = 1 + -1 + c = c     =>     c = 2

所以多项式 y = ax² + bx + c = x² - x + 2 在三个点上一致

验证：

1² - 1 + 2 = 2
2² - 2 + 2 = 4
3² - 3 + 2 = 8

如我们所愿。

但请注意，这个多项式 y = x² - x + 2 也准确地生成了仅包含前 2 项“2, 4”的系列。所以这个只有两项的数列满足两个多项式，y = 2x 和 y = x² - x + 2。尽管前两个值 2,4 一致，但它们是非常不同的多项式。

一般来说，如果您有一系列 n 项，则有一个唯一的 n-1 次多项式将生成该系列。一般来说，不会有任何次数小于 n-1 的多项式会准确地生成它（你可能会很幸运，但它通常不是真的）。有无数个次数大于 n-1 的多项式将生成数据。

通常在数值分析中，您会尝试生成一个次数小于 n-1 的多项式，以逼近数据（不完全匹配，但可以最大限度地减少误差）。 n-1 阶的精确解是不稳定的，因为输入序列的微小变化会产生非常不同的方程。对于次数小于 n-1 的多项式逼近，情况并非如此。由于许多物理测量具有固有误差，因此使用低次多项式可以最大限度地减少测量误差的影响。

现在让我们考虑系列 2、4、8、16

您可以使用完全相同的方法生成与这些数据点完全匹配的 3 次多项式 (y = ax³ + bx² + cx + d)。这（再次）只是求解一组线性联立方程。这基本上就是拉格朗日算法的工作原理；我们手动求解方程，而不是使用矩阵表示法（如拉格朗日所做的那样）。

但是考虑到 2、4、8、16，大多数人会认为等式是 y = 2^x。这不是多项式方程，所以不能表示为多项式。

对于级数 2,4,8，我们推导出多项式 y = x² - x + 2。如果我们尝试外推以找到下一个值，插入 x=4 将得到 y = 4² - 4 + 2 = 14 . (x=5) 之后的项是 y = 5² - 5 + 2 = 22。随着 x 变大，y = x² - x + 2 越来越接近 y = 2^x。事实上，没有多项式会像 y = 2^x 这样快速增长。

所以...

如果你有 n 个点，你总能找到一个唯一的 n-1 次（或有时更小）多项式，它会为 x=1,2,3..n 准确地生成这 n 个点。这不常用于现实生活中的问题，因为这些解决方案是不稳定的（输入的微小变化会对多项式产生很大的变化）。

如果您有 n 个点，则有无数个 n 次或更大的多项式将产生该级数。这些对于 x = 1, 2, ... n 都有相同的值，但在 n+1, n+2 等项上会有不同。

通常使用次数小于 n-1 的多项式逼近。它通常不会精确拟合，但通常会显示曲线的一般形状。对于 8 点，您可能会尝试找到一个 4 次多项式 (y = ax⁴ + cx³ + dx² + e)，它可以最大限度地减少误差。根据经验，经常使用大约 n/2 次的多项式。这更像是艺术而不是科学；通常您对基本（正确）公式是什么有所了解，这有助于选择近似多项式的次数。

多项式近似可以很好地用于插值（在两个数据点之间找到一个值），但对于外插则没有希望。由于我们完全不知道“下一个”值可能是一个系列（它可以是任何东西），因此没有公式可以成功预测它。

我希望这是有用的。生成一个精确生成有限级数的多项式并不难......它只需求解具有 n 个变量的 n 个线性联立方程（x^n-1、x^{n-2 的系数sup>, ... x², x 和常数项）。这就是我们上面所做的以及拉格朗日的工作原理。然而，在物理系统中，它可能不是特别有意义。用户小心。}