为什么 FFT 结果显示单个频率样本的 2 个非零幅度？答案

【问题标题】：Why do FFT result show 2 non-zero amplitudes for a samples of single frequency?为什么 FFT 结果显示单个频率样本的 2 个非零幅度？
【发布时间】：2018-08-23 09:48:50
【问题描述】：

通过一个简单的 FFT 运行来学习操作，我创建了一个包含 100 个元素的 NumPy 数组，该数组中的正弦波只有一个周期。使用此代码：

...
n = 100
x = np.fromfunction(lambda a: np.sin(2 * np.pi * a / n), (n,), dtype=float)
res = np.fft.fft(x)
...

res 中的结果在 2 个不同的索引值处显示非零幅度：

idx           real         imag          abs
---     ----------   ----------   ----------
...
  1:             0      -50.000       50.000
...
 99:             0       50.000       50.000

我只希望在索引 1 处看到一个非零振幅。

为什么索引 1 和 99 的幅度都非零，我该如何从数学上理解这一点？

补充：也许高频实际上代表aliased频率，根据Nyquist rate，采样率太低。

【问题讨论】：

请注意，SciPy 还具有 rfft 函数，用于处理实数（而不是复数）。
@DietrichEpp：谢谢，在scipy.fftpack.rfft 找到它。
您可以将其视为混叠，但采样率并不太低……请记住，输入中只有一个周期的信号，因此奈奎斯特频率是 50 倍那。这里发生的是您的输入确实实际上包含两个不同复数频率的总和，一个在 f=+Fs/100，一个在 f=-Fs/ 100。复杂信号的虚部相互抵消，留下一个实值正弦波。混叠告诉我们，f=-Fs/100 处的信号将在 f=+Fs*99/100 处混叠，但这不是采样率高低的问题。
当我说“复频率”时，我有点不准确。频率本身并不复杂，但复杂的傅立叶变换适用于不是正弦和余弦的信号，而是正弦和余弦的复值组合。由于复数有相位，我们可以认为正频率是相位随时间增加的信号，负频率是相位随时间减少的信号。 dsp.stackexchange.com/questions/4825/why-is-the-fft-mirrored
@DietrichEpp：再次感谢。您的 cmets 将我带到 The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, Chapter 12: The Fast Fourier Transform，它很好地描述了不同类型的实数与复数 FFT，以及有关实施的信息。

标签： python numpy fft

【解决方案1】：

np.fft.fft() 函数返回两侧 DFT 光谱。您看到的是频率 w 和 -w 的峰值，其中 w 是正弦波的频率。

您可以通过运行np.fft.fftfreq 并绘制结果自行检查：

x = np.linspace(0, 2)
y = np.sin(2*np.pi*x)
Y = np.fft.fft(y)
freqs = np.fft.fftfreq(len(x), d=x[1]-x[0])

# Plot the results
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1)
ax1.plot(x, y)    
ax2.plot(freqs, np.abs(Y))

【讨论】：

谢谢。我在之前添加了import matplotlib.pyplot as plt 和之后添加了plt.show() 以使其运行。

【解决方案2】：

傅里叶变换

其中Xk 是复数。虽然您的x 是实数，但结果是您得到X[N-m] = X[m]* 在您的情况下，N=100, m=1，因此，您有X[ 1 ] = X[99]

下面的链接解释了一切，

Why is the FFT “mirrored”?

在处理实数时，numpy提供了另一个函数numpy.fft.rfft

当为纯实数输入计算 DFT 时，输出是 Hermitian 对称的，即负频率项只是相应正频率项的复共轭，因此负频率项是多余的。此函数不计算负频率项，因此输出的变换轴长度为 n//2 + 1。

【讨论】：

谢谢，N - 1 的复共轭值很好。

【解决方案3】：

标准的全 DFT 或 FFT 是 NxN 复数到复数的线性基变换，它返回其结果作为由复数元素组成的 N 元素向量，每个复数结果元素由实部和虚部组成。需要一个复杂的结果来表示每个频率分量的幅度和相位（因此不会有信息丢失）。虚部和实部的反正切表示每个频率分量的相位。

如果您使用严格实数输入（没有非零虚部）提供 FFT，那么您希望 FFT 结果表示严格实数信号。当 FFT 返回具有非零虚部的复数结果（如果相位非零时需要），这怎么可能？通过为每个信号返回两个分量，其中这两个分量的幅度相等，但它们的虚部相反，因此虚部抵消了。您仍然需要每个结果元素的虚部，以便测量相位。但看整个 FFT 结果，两个复数值中的虚部总和为零，因此表示严格的实数输入信号（没有虚部）。

因此，当给定严格的实数输入时，完整的 FFT 必须是复共轭镜像对称。

因此，对于输入中的每个频率分量，您在 FFT 结果中看到（至少）两个相等的幅度值。当用非零虚部分量输入 FFT 复数输入时，这不正确，这在许多物理方程和信号处理算法中很常见。

补充：为什么 FFT 必须返回一个复杂的结果，而不仅仅是幅度和相位角？ FFT 代表 Fast 傅里叶变换。使 FFT 快速的一件事是它是一种线性变换，只需乘法和加法即可计算（加上一些巧妙的数据混洗）。实部和虚部可以仅用线性算术计算。而计算相位需要反正切（或 atan2()），这是一个慢得多的非线性超越算子。

【讨论】：