Monoid 同态和同构答案

【问题标题】：Monoid homomorphism and isomorphismMonoid 同态和同构
【发布时间】：2019-09-11 11:19:17
【问题描述】：

我正在阅读“Scala 编程”一书（红皮书）。

在关于 Monoid 的章节中，我了解了 Monoid 同态是什么，例如：String Monoid M with concatenation and length function f 保留了幺半群结构，因此是同态的。

M.op(f(x), f(y)) == M.op(f(x) + f(y))
// "Lorem".length + "ipsum".length == ("Lorem" + "ipsum").length

引用这本书（凭记忆，如果我错了，请纠正我：

当这发生在两个方向上时，它被命名为 Monoid isomorphisim，这意味着对于 monoids M, N，函数 f, g、f andThen g 和 g andThen f 是 identity 函数。例如String Monoid 和 List[Char] Monoid 连接是同构的。

但是我看不到实际的例子，我只能将f 视为length 函数，但是g 会发生什么？

注意：我看过这个问题：What are isomorphism and homomorphisms。

【问题讨论】：

你见过这个吗？ stackoverflow.com/questions/55993254/…
啊哈！，不是选择的答案，但这个stackoverflow.com/a/55993551/1612432，在 Monoid 同构 中是我的答案。所以，在这种情况下，f 和 g 将是 toVector 和 toList，对吧？
哦，那是我的，谢谢！ :) 是的，没错。
@slouc 我在那儿给你投了赞成票 ;-)
谢谢 :) 很高兴看到您的回答对人们有所帮助。干杯！

标签： scala functional-programming monoids isomorphism homomorphism

【解决方案1】：

要查看String 和List[Char] 之间的同构，我们有toList: String -> List[Char] 和mkString: List[Char] -> String。

length 是从字符串幺半群到加法的自然数幺半群的同态。

String 类的内同态的几个例子是toUpperCase 和toLowerCase。

对于列表，我们有很多同态，其中许多只是fold 的版本。

【讨论】：

【解决方案2】：

这是 siyopao 的答案，用 ScalaCheck 程序表示

object IsomorphismSpecification extends Properties("f and g") {
  val f: String => List[Char] = _.toList
  val g: List[Char] => String = _.mkString

  property("isomorphism") = forAll { (a: String, b: List[Char]) =>
    (f andThen g)(a) == a && (g andThen f)(b) == b
  }
}

哪个输出

+ f and g.isomorphism: OK, passed 100 tests.

【讨论】：