我有一个数字（以 10 为底）表示为最多 10^6 位的字符串。我想检查这个数字是否是 2 的幂。我能想到的一件事是对指数进行二进制搜索并使用 FFT 和快速取幂算法，但它的代码相当长且复杂。让 n 表示输入的长度（即输入中的小数位数）。作为 n 的函数，解决这个问题最有效的算法是什么？
【问题讨论】：
对于任何给定大小的十进制数，都有 2 的 2 次方或 3 次方，很容易猜到它们是什么，因为十进制数的大小很好地近似于它的以 10 为底的对数，而且你只需乘以适当的常数 (log210) 即可计算以 2 为底的对数。所以二分查找是低效且不必要的。
一旦你有了一个大约 300 万的试验指数，你就可以使用平方指数算法和大约 22 个 bugnum 十进制乘法。 （最多 21 次加倍，但这些相对容易。）
根据您执行此检查的频率，您可能希望投资于快速的 bignum 代码。但如果不频繁，简单的乘法应该没问题。
如果您不希望数字是 2 的幂，您可以先进行快速计算 mod 109 以查看最后 9 位是否匹配。这将消除除一小部分随机数之外的所有随机数。或者，对于更快但稍弱的过滤器，使用 64 位算术检查最后 20 位数字是否可被 220 整除而不是 10。
【讨论】：
这是一个简单的概率解决方案。
假设您的电话号码是n，我们要查找k：n = 2^k。显然，k = log2(n) = log10(n) * log2(10)。我们可以估计log10(n) ~ len(n) 并找到带有小错误的k' = len(n) * log2(10)（比如|k - k'| <= 5，我没有检查，但这应该足够了）。可能您在任何可以想到的解决方案中都需要这部分，其他答案中也提到过。
现在让我们检查一下n = 2^k 是否有一些已知的k。选择从 2 到 k^2 的随机素数 P。如果余数不相等，则k 绝对不匹配。但是如果他们是平等的呢？我声称误报率受2 log(k)/k 的限制。
为什么会这样？因为如果n = 2^k (mod P) 则P 除以D = n-2^k。数字 D 的长度约为 k（因为由于第一部分，n 和 2^k 具有相似的大小），因此不能有超过 k 的不同素数除数。大约有k^2 / log(k^2) 质数小于k^2，因此您随机选择D 的质数除数的概率小于k / (k^2 / log(k^2)) = 2 log(k) / k。
在实践中，最高 10^9（甚至最高 log(n)）的素数就足够了，但您必须进行更深入的分析才能证明概率。
此解决方案根本不需要任何长算法，所有计算都可以在 64 位整数中进行。
附：为了从 1 到 T 中选择一个随机素数，您可以使用以下逻辑：从 1 到 T 中选择一个随机数并将其递增 1 直到它为素数。在这种情况下，素数上的分布是不均匀的，前面的分析也不完全正确，但它也可以适应这种随机。
【讨论】：
smal 和 arythmetics)）
我不确定它是否容易申请，但我会通过以下方式进行：
1) 以二进制显示数字。现在如果这个数字是 2 的幂，它看起来像：
1000000....
只有一个1，其余的是0。检查这个数字很容易。现在的问题是如何存储数字。例如，它可能有前导零，这将加强对 1 的搜索：
...000010000....
如果只有少量的前导零，只需从左到右搜索。如果零的数量未知，我们将不得不...
2) 对1的二分查找：
2a) 从中间切开。
2b) 如果两者都为 0 或都不为 0（希望您可以在合理的时间内检查一个数字是否为零），则停止并返回 false。 （假 = 不是 2 的幂）
否则继续非零部分。
如果非零部分 = 1 则停止并返回 true。
估计：如果数字是 n 位（十进制），那么它的 2^n 位二进制。
二进制搜索采用O(log t)，并且由于 t = 2^n，log t = n。因此算法应该采用O(n)。
假设：
1）您可以访问数字的二进制视图。
2) 您可以在合理的时间内将一个数字与零进行比较。
【讨论】：