两个简单递归函数的大 O 表示法

Question

我在 Python 中有两个递归函数，只是想知道它们的大 O 表示法。这些的大 O 是什么？

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return cost(n-1) + cost(n-1)

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return 2*cost(n-1)

Answer 1

让我们使用递归关系来解决这个问题！第一个函数的运行时可以递归描述为

T(0) = 1

T(n + 1) = 2T(n) + 1

也就是说，基本情况需要一个时间单位才能完成，否则我们会对问题的较小实例进行两次递归调用，并进行一些设置和清理工作。展开这个循环中的一些术语，我们得到

• T(0) = 1
• T(1) = 2T(0) + 1 = 2 + 1 = 3
• T(2) = 2T(1) + 1 = 2 × 3 + 1 = 7
• T(3) = 2T(2) + 1 = 2 × 7 + 1 = 15

这个系列 1, 3, 7, 15, ... 可能看起来很眼熟，因为它是 2¹ - 1, 2² - 1, 2 ³ - 1 等。更一般地，我们可以证明

T(n) = 2ⁿ⁺¹ - 1

我们可以通过归纳来做到这一点。作为我们的基本情况，T(0) = 1 = 2¹ - 1，因此对于 n = 0，该声明成立。现在假设对于某些 n，T(n) = 2^{n +1} - 1. 然后我们就有了

T(n + 1) = 2T(n) + 1 = 2(2ⁿ⁺¹ - 1) + 1 = 2ⁿ⁺² - 2 + 1 = 2ⁿ⁺² - 1

我们完成了！由于这个循环的结果是 2ⁿ⁺¹ - 1 = 2(2ⁿ) - 1，我们有运行时间是 Θ(2^n支持>)。

第二个函数的运行时间可以递归描述为

T(0) = 1

T(n + 1) = T(n) + 1

扩展一些术语：

• T(0) = 1
• T(1) = T(0) + 1 = 1 + 1 = 2
• T(2) = T(1) + 1 = 2 + 1 = 3
• T(3) = T(2) + 1 = 3 + 1 = 4

这给出了 1, 2, 3, 4, ...，所以更一般地说我们可能会猜到

T(n) = n + 1

我们可以再次归纳证明这一点。作为基本情况，如果 n = 0，则 T(0) = 1 = 0 + 1。对于归纳步​​骤，假设对于某些 n，T(n) = n + 1。然后

T(n + 1) = T(n) + 1 = n + 1 + 1 = n + 2

我们完成了！由于运行时间是 n + 1，所以运行时间是 Θ(n)。

希望这会有所帮助！

Answer 2

使用递归树（通过可视化图表）查找成本。

函数cost(n)的递归关系

                    T(n) = 2T(n-1)+c

If at kth level input size become 0 (base condition where func terminates)
                                           n-k =0
                                              k=n


Total cost of the function (adding cost of each level) :
             T(n) = 2^0*c+ 2^1*c + 2^2*c + 2^3*c +.. .. . .+ 2^n * c
                  = O(2^n)

类似的方法我们可以找到第二个函数的时间复杂度。