Python scikit学习线性模型参数标准误差

Question

我正在使用 sklearn，特别是 linear_model 模块。在拟合一个简单的线性后

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import linear_model
randn = np.random.randn

X = pd.DataFrame(randn(10,3), columns=['X1','X2','X3'])
y = pd.DataFrame(randn(10,1), columns=['Y'])        

model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X=X, y=y)

我知道如何通过 coef_ 和 intercept_ 访问系数和截距，预测也很简单。我想访问这个简单模型的参数的方差-协方差矩阵，以及这些参数的标准误差。我熟悉 R 和 vcov() 函数，似乎 scipy.optimize 有一些功能（Getting standard errors on fitted parameters using the optimize.leastsq method in python） - sklearn 是否有任何功能可以访问这些统计信息？？

感谢您对此的任何帮助。

-瑞恩

Answer 1

不，scikit-learn 没有构建用于推理的错误估计。 Statsmodels 可以。

import statsmodels.api as sm
ols = sm.OLS(y, X)
ols_result = ols.fit()
# Now you have at your disposition several error estimates, e.g.
ols_result.HC0_se
# and covariance estimates
ols_result.cov_HC0

见docs

Answer 2

tl;博士

不使用 scikit-learn，但您可以使用一些线性代数手动计算。我在下面为您的示例执行此操作。

还有一个带有此代码的 jupyter 笔记本：https://gist.github.com/grisaitis/cf481034bb413a14d3ea851dab201d31

什么和为什么

您估计的标准误差只是您估计的方差的平方根。你估计的方差是多少？如果你假设你的模型有高斯误差，那就是：

Var(beta_hat) = inverse(X.T @ X) * sigma_squared_hat

然后beta_hat[i] 的标准错误是Var(beta_hat)[i, i] ** 0.5。

所有你必须计算sigma_squared_hat。这是对模型高斯误差的估计。这不是先验已知的，但可以使用残差的样本方差进行估计。

您还需要在数据矩阵中添加截距项。 Scikit-learn 使用 LinearRegression 类自动执行此操作。因此，要自己计算，您需要将其添加到您的 X 矩阵或数据框中。

如何

从您的代码开始，

显示您的 scikit-learn 结果

print(model.intercept_)
print(model.coef_)

[-0.28671532]
[[ 0.17501115 -0.6928708   0.22336584]]

用线性代数重现这个

N = len(X)
p = len(X.columns) + 1  # plus one because LinearRegression adds an intercept term

X_with_intercept = np.empty(shape=(N, p), dtype=np.float)
X_with_intercept[:, 0] = 1
X_with_intercept[:, 1:p] = X.values

beta_hat = np.linalg.inv(X_with_intercept.T @ X_with_intercept) @ X_with_intercept.T @ y.values
print(beta_hat)

[[-0.28671532]
 [ 0.17501115]
 [-0.6928708 ]
 [ 0.22336584]]

计算参数估计的标准误

y_hat = model.predict(X)
residuals = y.values - y_hat
residual_sum_of_squares = residuals.T @ residuals
sigma_squared_hat = residual_sum_of_squares[0, 0] / (N - p)
var_beta_hat = np.linalg.inv(X_with_intercept.T @ X_with_intercept) * sigma_squared_hat
for p_ in range(p):
    standard_error = var_beta_hat[p_, p_] ** 0.5
    print(f"SE(beta_hat[{p_}]): {standard_error}")

SE(beta_hat[0]): 0.2468580488280805
SE(beta_hat[1]): 0.2965501221823944
SE(beta_hat[2]): 0.3518847753610169
SE(beta_hat[3]): 0.3250760291745124

与statsmodels确认

import statsmodels.api as sm
ols = sm.OLS(y.values, X_with_intercept)
ols_result = ols.fit()
ols_result.summary()

...
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const         -0.2867      0.247     -1.161      0.290      -0.891       0.317
x1             0.1750      0.297      0.590      0.577      -0.551       0.901
x2            -0.6929      0.352     -1.969      0.096      -1.554       0.168
x3             0.2234      0.325      0.687      0.518      -0.572       1.019
==============================================================================

好的，完成了！

Answer 3

每个预测变量列的随机格式都相同。所以，这就像运行三个模拟：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import linear_model
randn = np.random.randn

X = pd.DataFrame(randn(10,1))
y = pd.DataFrame(randn(10,1)) 
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X=X, y=y)
y_pred = model.predict(X)
print(y)
print(y_pred)
residuals = y - y_pred
residuals['c'] = residuals.iloc[:, 0]**2
sq = residuals['c']
print(sq)
standard_error = (sum(sq)/(10-2))**0.5
print(standard_error)