用scikit学习线性模型约束系数总和

Question

我正在做一个有 1000 个 coefs 的 LassoCV。 Statsmodels 似乎无法处理这么多的系数。所以我正在使用scikit学习。 Statsmodel 允许 .fit_constrained("coef1 + coef2...=1")。这将系数的总和限制为 = 1。我需要在 Scikit 中执行此操作。我也将截距保持为零。

from sklearn.linear_model import LassoCV

LassoCVmodel = LassoCV(fit_intercept=False)
LassoCVmodel.fit(x,y)

任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我很惊讶之前没有人在 cmets 中说明过这一点，但我认为您的问题陈述中存在概念上的误解。

让我们从 Lasso Estimator 的定义开始，例如 Hastie、Tibshirani 和 Wainwright 在 Statistical Learning with Sparsity The Lasso and Generalizations 中给出的： p>

给定 N 个预测-响应对 {(xi,yi)} 的集合， lasso 为最小二乘找到拟合系数 (β0,βi) 具有附加约束的优化问题，即 L1 范数 系数向量的βi小于等于t。

其中系数向量的 L1-范数是所有系数的大小之和。 如果你的系数都是正数，这正好解决了你的问题。

现在，这个 t 和 scikit-learn 中使用的 alpha 参数之间有什么关系？好吧，事实证明，通过拉格朗日对偶，t 的每个值与alpha 的值之间存在一一对应关系。

这意味着当您使用LassoCV 时，由于您使用的是alpha 的值范围，因此根据定义，您使用的是所有系数总和的允许值范围！

总而言之，所有系数之和等于 1 的条件相当于使用 Lasso 获取特定值 alpha。

Answer 2

如 cmets 中所述：文档和来源并未表明 sklearn 支持此功能！

我刚刚尝试了使用现成的凸优化求解器的替代方案。这只是一种简单的类似原型的方法，它可能不适合您的（未完全定义的）任务（样本大小？）。

一些cmets：

• 实施/模型制定很容易
• 这个问题比我想象的更难解决
  • 求解器 ECOS 遇到一般问题
  • 求解器 SCS 达到良好的准确度（与 sklearn 相比更差）
  • 但是：调整迭代以提高精度会破坏求解器
    • 问题对于 SCS 来说是不可行的！
  • 基于 SCS + bigM 的公式（约束在目标内作为惩罚项发布）看起来可用；但可能需要调整
  • 仅测试了开源求解器，而商业求解器可能要好得多

进一步尝试：

• 解决巨大的问题（与稳健性和准确性相比，性能变得更重要），（加速）投影随机梯度方法看起来很有前景

代码

""" data """
from time import perf_counter as pc
import numpy as np
from sklearn import datasets
diabetes = datasets.load_diabetes()
A = diabetes.data
y = diabetes.target
alpha=0.1

print('Problem-size: ', A.shape)

def obj(x):  # following sklearn's definition from user-guide!
    return (1. / (2*A.shape[0])) * np.square(np.linalg.norm(A.dot(x) - y, 2)) + alpha * np.linalg.norm(x, 1)


""" sklearn """
print('\nsklearn classic l1')
from sklearn import linear_model
clf = linear_model.Lasso(alpha=alpha, fit_intercept=False)
t0 = pc()
clf.fit(A, y)
print('used (secs): ', pc() - t0)
print(obj(clf.coef_))
print('sum x: ', np.sum(clf.coef_))

""" cvxpy """
print('\ncvxpy + scs classic l1')
from cvxpy import *
x = Variable(A.shape[1])
objective = Minimize((1. / (2*A.shape[0])) * sum_squares(A*x - y) + alpha * norm(x, 1))
problem = Problem(objective, [])
t0 = pc()
problem.solve(solver=SCS, use_indirect=False, max_iters=10000, verbose=False)
print('used (secs): ', pc() - t0)
print(obj(x.value.flat))
print('sum x: ', np.sum(x.value.flat))

""" cvxpy -> sum x == 1 """
print('\ncvxpy + scs sum == 1 / 1st approach')
objective = Minimize((1. / (2*A.shape[0])) * sum_squares(A*x - y))
constraints = [sum(x) == 1]
problem = Problem(objective, constraints)
t0 = pc()
problem.solve(solver=SCS, use_indirect=False, max_iters=10000, verbose=False)
print('used (secs): ', pc() - t0)
print(obj(x.value.flat))
print('sum x: ', np.sum(x.value.flat))

""" cvxpy approach 2 -> sum x == 1 """
print('\ncvxpy + scs sum == 1 / 2nd approach')
M = 1e6
objective = Minimize((1. / (2*A.shape[0])) * sum_squares(A*x - y) + M*(sum(x) - 1))
constraints = [sum(x) == 1]
problem = Problem(objective, constraints)
t0 = pc()
problem.solve(solver=SCS, use_indirect=False, max_iters=10000, verbose=False)
print('used (secs): ', pc() - t0)
print(obj(x.value.flat))
print('sum x: ', np.sum(x.value.flat))

输出

Problem-size:  (442, 10)

sklearn classic l1
used (secs):  0.001451024380348898
13201.3508496
sum x:  891.78869298

cvxpy + scs classic l1
used (secs):  0.011165673357417458
13203.6549995
sum x:  872.520510561

cvxpy + scs sum == 1 / 1st approach
used (secs):  0.15350853891775978
13400.1272148
sum x:  -8.43795102327

cvxpy + scs sum == 1 / 2nd approach
used (secs):  0.012579569383536493
13397.2932976
sum x:  1.01207061047

编辑

只是为了好玩，我使用加速投影梯度的方法实现了一个缓慢的非优化原型求解器（代码中的注释！）。

尽管这里的行为很慢（因为没有优化），但对于大问题（因为它是一阶方法），这个应该可以更好地扩展。应该有很大的潜力！

警告： 对某些人来说可能被视为高级数值优化 :-)

编辑 2：我忘记在投影上添加非负约束（sum(x) == 1 如果 x 可以是非负的，则没有多大意义！） .这使解决变得更加困难（数值问题），很明显，应该使用其中一种快速的专用投影（我现在太懒了；我认为 n*log n 算法可用）。再说一遍：这个 APG 求解器是一个原型，还不能用于实际任务。

代码

""" accelerated pg  -> sum x == 1 """
def solve_pg(A, b, momentum=0.9, maxiter=1000):
    """ remarks:
            algorithm: accelerated projected gradient
            projection: proj on probability-simplex
                -> naive and slow using cvxpy + ecos
            line-search: armijo-rule along projection-arc (Bertsekas book)
                -> suffers from slow projection
            stopping-criterion: naive
            gradient-calculation: precomputes AtA
                -> not needed and not recommended for huge sparse data!
    """

    M, N = A.shape
    x = np.zeros(N)

    AtA = A.T.dot(A)
    Atb = A.T.dot(b)

    stop_count = 0

    # projection helper
    x_ = Variable(N)
    v_ = Parameter(N)
    objective_ =  Minimize(0.5 * square(norm(x_ - v_, 2)))
    constraints_ = [sum(x_) == 1]
    problem_ = Problem(objective_, constraints_)

    def gradient(x):
        return AtA.dot(x) - Atb

    def obj(x):
        return 0.5 * np.linalg.norm(A.dot(x) - b)**2

    it = 0
    while True:
        grad = gradient(x)

        # line search
        alpha = 1
        beta = 0.5
        sigma=1e-2
        old_obj = obj(x)
        while True:
            new_x = x - alpha * grad
            new_obj = obj(new_x)
            if old_obj - new_obj >= sigma * grad.dot(x - new_x):
                break
            else:
                alpha *= beta

        x_old = x[:]
        x = x - alpha*grad

        # projection
        v_.value = x
        problem_.solve()
        x = np.array(x_.value.flat)

        y = x + momentum * (x - x_old)

        if np.abs(old_obj - obj(x)) < 1e-2:
            stop_count += 1
        else:
            stop_count = 0

        if stop_count == 3:
            print('early-stopping @ it: ', it)
            return x

        it += 1

        if it == maxiter:
            return x


print('\n acc pg')
t0 = pc()
x = solve_pg(A, y)
print('used (secs): ', pc() - t0)
print(obj(x))
print('sum x: ', np.sum(x))

输出

acc pg
early-stopping @ it:  367
used (secs):  0.7714511330487027
13396.8642379
sum x:  1.00000000002