使用 RSA 加密，我怎样才能找到 d答案

【问题标题】：Using RSA encryption, how can i find d使用 RSA 加密，我怎样才能找到 d
【发布时间】：2017-03-30 10:36:43
【问题描述】：

当我有 p = 163、q = 311 和 e = 281 时，我正在使用欧几里得算法。这是我到目前为止所拥有的

N = p * q = 50693
Totient Symbol(n) = 162 x 310 = 50220

1.  50220 = 178(281) + 202     
2.  281 = 1 (202) + 79               
3.  202 = 2 (79) + 44
4.  79 = 1 (44) + 35
5.  44 = 1 (35) + 9
6.  35 = 3 (9) + 8
7.  9 = 1 (8) + 1
8.  8 = 8 (1) + 0

然后我继续进行反向替换

A.  9 = 1 (8) + 1   === 1 = 9-1(8)
B.  8 = 35 – 3(9)
C.  1 = 1(9)-1(35-3(9))  - 
D.  1 = 3(9) – 1(35) + 1(9)   add similar items
E.  1 = 4(9) -1(35)

9 = 44 – 1(35)
1 = 4 (44-1(35)) – 1(35)
1 = 4(44)-4(35)-1(35)

1 = 4(44) – 5(35)

取 35 (5) 旁边的值，从 totient 中减去 50220 – 5 = 50215 d = 50215

这是错误的，因为我使用了在线计算来验证。谁能在这里指出我正确的方向，我认为后面的替换是错误的

【问题讨论】：

标签： rsa

【解决方案1】：

有两种不同的方法来计算 RSA d 值，φ（phi / totient）方法和 λ（lambda / 最小公倍数）方法。虽然最初的 RSA 论文（和 RFC 2313）使用 phi，但现代实现（和 RFC 2437）使用 lambda。

totient 值很简单：(p-1)(q-1) = 50220。对于 lambda(p-1, q-1) 我们需要先计算 GCD(p-1, q-1)，例子使用了Euclidian algorithm的减法形式：

GCD(162, 310)
GCD(162, 148)
GCD(14, 148)
GCD(14, 134)
GCD(14, 120)
GCD(14, 106)
GCD(14, 92)
GCD(14, 78)
GCD(14, 64)
GCD(14, 50)
GCD(14, 36)
GCD(14, 22)
GCD(14, 8)
GCD(6, 8)
GCD(6, 2)
GCD(4, 2)
GCD(2, 2)
GCD = 2

(a, b) 的最小公倍数是a * b / GCD(a, b)。所以lambda值就是totient/GCD，或者25110。

现在，要计算dPhi = ModInv(e, phi) 或dLambda = ModInv(e, lambda)，我们可以使用Extended Euclidean Algorithm：

ModInverse(281, 50220)
  r=50220, newR=281, t=    0, newT=    1
  r=  281, newR=202, t=    1, newT= -178
  r=  202, newR= 79, t= -178, newT=  179
  r=   79, newR= 44, t=  179, newT= -536
  r=   44, newR= 35, t= -536, newT=  715
  r=   35, newR=  9, t=  715, newT=-1251
  r=    9, newR=  8, t=-1251, newT= 4468
  r=    8, newR=  1, t= 4468, newT=-5719
  r=    1, newR=  0, t=-5719, newT=50220
  Correcting the sign of t
  dPhi = 44501

ModInverse(281, 25110)
  r=25110, newR=281, t=    0, newT=    1
  r=  281, newR=101, t=    1, newT=  -89
  r=  101, newR= 79, t=  -89, newT=  179
  r=   79, newR= 22, t=  179, newT= -268 
  r=   22, newR= 13, t= -268, newT=  983
  r=   13, newR=  9, t=  983, newT=-1251
  r=    9, newR=  4, t=-1251, newT= 2234
  r=    4, newR=  1, t= 2234, newT=-5719 
  r=    1, newR=  0, t=-5719, newT=25110
  Correcting the sign of t
  dLambda = 19391

您似乎正确地完成了扩展欧几里得算法的递减步骤，但不熟悉反向传播计算（与内联形式相反）我看不出您在哪里犯了值或算术错误。

【讨论】：