我可以在四元数中切换 X Y Z 吗？

Question

我有一个 Y 轴向上的坐标系。我需要将其转换为 Z 为 UP 的坐标系。我将旋转存储在四元数中，所以我的问题是：如果我有一个四元数 X、Y、Z，我可以用 Z 切换 Y 并得到 Z 实际上是 UP 的结果吗？

Answer 1

只是在四元数中交换两个轴？不，这不起作用，因为这会翻转手性。然而，如果你翻转手性并否定四元数的实部，那么你就会回到原来的手性。一般来说，你可以这样写

Q'(Q, i'j'k') = ε_i'j'k' Q_w_w + Q_i _i + Q_j_j + Q_k_k

在哪里

是完全反对称张量，称为 Levi-Cevita 符号。

这不足为奇，因为四元数的 i²、j²、k² 规则也由相同的完全反对称张量定义。

Answer 2

我正在修改this post 的答案，因为这里的答案较旧，可能更通用。

最好在将角度和轴转换为四元数的背景下考虑这一点。在Wikipedia 中，您可以阅读到您使用单位方向矢量 (x,y,z) 描述围绕轴的角度 θ 的旋转

q = cos(θ/2) + sin(θ/2)(xi + yj + zk)

您的帖子只告诉我们 Y ↦ Z，即旧的 Y 方向是新的 Z 方向。其他方向呢？你可能想保留 X ↦ X，但这仍然给我们留下了两个选择。

1. 要么使用 Z ↦ Y。在这种情况下，您可以在左手坐标系和右手坐标系之间进行转换，并且转换本质上是一种反射。
2. 或者您使用 Z ↦ -Y，那么它只是围绕 X 轴旋转 90°。坐标系的手性保持不变。

手性变化

首先考虑第一种情况。更改坐标系对您的角度和轴有什么影响？好吧，轴坐标与您的点经历相同的坐标交换，并且角度改变了它的符号。所以你有

cos(−θ/2) + sin(−θ/2)(xi + zj + yk)

与上述相比，实部没有变化（因为 cos(x)=cos(−x)）但是虚部改变了它们的符号，在除了顺序的变化。由此概括，在旧坐标系中描述旋转的四元数a + bi + cj + dk 将在新坐标系中转换为a − bi − dj − ck。或者进入−a + bi + dj + ck，这是对同一旋转的不同描述（因为它将 θ 改变了 360°，但 θ/2 改变了 180°）。

保留手性

与此相比，Z ↦ -Y 的第二种情况保持 θ 的符号，所以你只需要调整轴。新的Z坐标是旧的Y坐标，新的Y坐标是否定的旧Z坐标。所以a + bi + cj + dk 被转换为a + bi − dj + ck（或它的负数）。请注意，这只是四元数乘以i 或−i，具体取决于您将其相乘的一侧。如果你想把它写成共轭，你有 θ=±45° 所以你在四元数中得到平方根，表示坐标系的变化。

Answer 3

尝试： 四元数旋转 = new Quaternion(X,Z,Y, -W); //由于

，我不得不交换 Z 和 Y

Answer 4

不，您不能交换 y 和 z - 如果它是右手坐标系，它将变成左手坐标系（反之亦然）。

但是，您可以进行以下替换：

newX = oldZ
newY = oldX
newZ = oldY

我怀疑您真正想要的是围绕 x 轴的简单旋转。如果这就是您想要切换 y 和 z 的原因，那么您应该围绕 +x 轴应用 -90 度的旋转（假设您有右手坐标系）。