找到重心权重具有特定值的点

Question

我有三角形：a、b、c。每个顶点都有一个值：va、vb、vc。在我的软件中，用户在这个三角形的内外拖动点p。我使用重心坐标根据va、vb 和vc 确定p 处的值vp。到目前为止，一切顺利。

现在我想限制p 使vp 在min 和max 范围内。如果用户选择p，其中vp 是min 或> max，我如何找到最接近p 的点，其中vp 分别等于min 或max？

编辑：这是我测试每个点的示例。浅灰色在min/max 内。如何找到构成min/max 边界的线的方程？

a = 200, 180
b = 300, 220
c = 300, 300
va = 1
vb = 1.4
vc = 3.2
min = 0.5
max = 3.5

编辑： FWIW，到目前为止，首先我使用三角形顶点 a、b、c 获得 p 的重心坐标 v、w（标准我想的东西，但看起来像this)。然后获取vp：

u = 1 - w - v
vp = va * u + vb * w + vc * v

没关系。我的麻烦是我需要min/max 的直线方程，所以当vp 超出范围时，我可以为p 选择一个新位置。 p 的新位置是最小或最大线上最接近 p 的点。

请注意，p 是 XY 坐标，vp 是由三角形和每个顶点的值确定的坐标值。 min 和 max 也是值。我需要的两条线方程将给我 XY 坐标，由三角形确定的值是 min 或 max。

解决方案中是否使用重心坐标无关紧要。

Answer 1

诀窍是使用值与笛卡尔距离的比率来扩展每个三角形边缘，直到达到最小值或最大值。用图片更容易看到：

青色线显示三角形边缘是如何延伸的，绿色 X 是最小或最大线上的点。只需其中 2 个点，我们就知道直线的斜率。黄线表示连接 X 与浅灰色对齐。

数学是这样的，首先得到vb和vc之间的值距离： valueDistBtoC = vc - vb

然后得到b到c的笛卡尔距离： CartesianDistBtoC = b.distance(c)

然后得到从b到max的值距离： valueDistBtoMax = max - vb

现在我们可以交叉乘法得到从 b 到 max 的笛卡尔距离： CartesianDistBtoMax = (valueDistBtoMax * cartesianDistBtoC) / valueDistBtoC

对 min 以及 a,b 和 c,a 执行相同的操作。这6个点足以限制p的位置。

Answer 2

假设您的三角形实际上是一个 3D 三角形，具有点 (ax,ay,va)、(bx,by,vb) 和 (cx,cy,vc)。这三个点定义了一个平面，包含通过重心插值获得的所有可能的p,vp 三元组。

现在将您的约束视为另外两个平面，z>=max 和 z<=min。这些平面中的每一个都沿着无限线与您的三角形平面相交；它们之间的无限光束，向下投影到 xy 平面，表示满足约束的点的区域。一旦你有了线（向下投影），你就可以找到哪个（如果有的话）被特定点违反，并将其移动到该约束上（沿着垂直于约束的向量）。

不过，现在我不确定你的六边形。这不是我所期望的形状。

Answer 3

从数学上讲，这个问题只是坐标的变化。更困难的部分是为所涉及的数量找到一个好的符号。

您有两个坐标系统：(x,y) 是您的显示器的笛卡尔坐标，(v,w) 是相对于向量 (c-a),(b-a) 的重心坐标，它们确定另一个（非正交) 系统。

你只需要在 (x,y) 系统中找到两条线的方程，然后将点 p 投影到这些线上就很容易了。

要实现这一点，您可以明确地找到从 (x,y) 坐标传递到 (v,w) 坐标并返回的矩阵。您正在使用的函数toBaryCoords 进行此计算以从 (x,y) 中找到坐标 (v,w)，我们可以重用该函数。 我们想要找到从 世界 坐标 (x,y) 到 重心 坐标 (v,w) 的变换系数。格式必须是

v = O_v + x_v * x + y_v * y

w = O_w + x_w * x + y_w * y

即

(v,w) = (O_v,O_w) + (x_v,y_y) * (x,y)

你可以通过计算toBaryCoord(0,0)来确定(O_v,O_w)，然后通过计算(1,0)的坐标找到(x_v,x_w)，找到(y_v,y_w)=toBaryCoord(1, 0) - (O_v,O_w) 然后通过计算 (y_v,y_w) = toBaryCoord(0,1)-(O_v,O_w) 找到 (y_v,y_w)。

此计算需要调用 toBaryCoord 三次，但实际上每次都在该例程中计算系数，因此您可以修改它以一次计算所有六个值。

你的函数 vp 的值可以计算如下。我将使用 f 而不是 v 因为我们使用 v 作为重心坐标。因此，以下我的意思是 f(x,y) = vp, fa = va, fb = vb, fc = vc。

你有：

f(v,w) = fa + (fb-fa)*v + (fc-fa)*w

即

f(x,y) = fa + (fb-fa) (O_v + x_v * x + y_v * y) + (fc-fa) (O_w + x_w * x + y_w * y)

其中 (x,y) 是您的点 p 的坐标。您可以通过插入三个顶点 a、b、c 的坐标来检查该等式的有效性，并验证您是否获得了三个值 fa、fb 和 fc。请记住，a 的重心坐标是 (0,0)，因此 O_v + x_v * a_x + y_v * a_y = 0 等等...（a_x 和 a_y 是点 a 的 x,y 坐标）。

如果你让

q = fa + (fb_fa)*O_v + (fc-fa)*O_w

fx = (fb-fa)*x_v + (fc-fa) * x_w

fy = (fb-fa)*y_v + (fc-fa) * y_w

你得到

f(x,y) = q + fx*x + fy * y

请注意，q、fx 和 fy 可以从 a,b,c,fa,fb,fc 计算一次，如果您只更改点 p 的坐标 (x,y)，则可以重复使用它们。

现在如果 f(x,y)>max，您可以轻松地将 (x,y) 投影到达到 max 的那条线上。投影坐标为：

(x',y') = (x,y) - [(x,y) * (fx,fy) - max + q]/[(fx,fy) * (fx,fy)] (fx ,fy)

现在。您想拥有代码。那么这里有一些伪-代码：

toBarycoord(Vector2(0,0),a,b,c,O);
toBarycoord(Vector2(1,0),a,b,c,X);
toBarycoord(Vector2(0,1),a,b,c,Y);
X.sub(O); // X = X - O
Y.sub(O); // Y = Y - O

V = Vector2(fb-fa,fc-fa);

q =  fa + V.dot(O); // q = fa + V*O
N = Vector2(V.dot(X),V.dot(Y)); // N = (V*X,V*Y)

// p is the point to be considered

f = q + N.dot(p); // f = q + N*p

if (f > max) {
  Vector2 tmp;
  tmp.set(N);
  tmp.multiply((N.dot(p) - max + q)/(N.dot(N))); // scalar multiplication
  p.sub(tmp);
}

if (f < min) {
  Vector2 tmp;
  tmp.set(N);
  tmp.multiply((N.dot(p) - min + q)/(N.dot(N))); // scalar multiplication
  p.sum(tmp);
}

Answer 4

我们认为问题如下：这三个点被解释为一个漂浮在 3D 空间中的三角形，其值为 Z 轴，笛卡尔坐标分别映射到 X 轴和 Y 轴。

那么问题是找到由三个点定义的平面的梯度。平面与z = min 和z = max 平面相交的线是您要限制点的线。

如果你找到了一个点 p，其中 v(p) > max 或 v(p) v(p + k * g) = max 或 min。 g 是渐变的方向，k 是我们需要找到的因子。您要查找的坐标（在笛卡尔坐标中）是p + k * g 的对应分量。

为了确定g，我们使用叉积计算垂直于由三个点确定的平面的正交向量：

// input:  px, py, pz, 
// output: p2x, p2y

// local variables
var v1x, v1y, v1z, v2x, v2y, v2z, nx, ny, nz, tp, k,

// two vectors pointing from b to a and c respectively
v1x = ax - bx;
v1y = ay - by;
v1z = az - bz;

v2x = cx - bx;
v2y = cy - by;
v2z = cz - bz;

// the cross poduct
nx = v2y * v1z - v2z * v1y;
ny = v2z * v1x - v2x * v1z;
nz = v2x * v1y - v2y * v1x;

// using the right triangle altitude theorem
// we can calculate the vector that is perpendicular to n
// in our triangle we are looking for q where p is nz, and h is sqrt(nx*nx+ny*ny)
// the theorem says p*q = h^2 so p = h^2 / q  - we use tp to disambiguate with the point p - we need to negate the value as it points into the opposite Z direction
tp = -(nx*nx + ny*ny) / nz;

// now our vector g = (nx, ny, tp) points into the direction of the steepest slope 
// and thus is perpendicular to the bounding lines

// given a point p (px, py, pz) we can now calculate the nearest point p2 (p2x, p2y, p2z) where min <= v(p2z) <= max

if (pz > max){
  // find k
  k = (max - pz) / tp;
  p2x = px + k * nx;
  p2y = py + k * ny;
  // proof: p2z = v = pz + k * tp = pz + ((max - pz) / tp) * tp = pz + max - pz = max
} else if (pz < min){
  // find k
  k = (min - pz) / tp;
  p2x = px + k * nx;
  p2y = py + k * ny;
} else {
  // already fits
  p2x = px;
  p2y = py;
}

请注意，显然如果三角形是垂直方向的（在 2D 中，它实际上不再是三角形），nz 变为零，tp 无法计算。这是因为不再有两条线的值分别为最小值或最大值。对于这种情况，您必须在剩余的线或点上选择另一个值。